二阶常系数非齐次线性微分方程的解法课件.ppt

《二阶常系数非齐次线性微分方程的解法课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、对应齐次方程二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解.定理2那么方程(1)的通解为1问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论f(x)的两种类型.用待定系数法求解.对应齐次方程二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)那么方程(1)的通解为定理22求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法3则4情形1若r不是特征根,即情形2若r是特征方程的单根,即5情形3若r是特征方程的二重根,即6综上讨论设特解为其中7解对应

2、齐次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得8解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解为例5得9解对应齐次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得10解对应齐次方程通解特征方程特征根例6注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。11解例7对应齐次方程通解特征方程特征根12此时原方程的通解为13可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:14解例8所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得15解例9所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得16例10.求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程当p≠k时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为第5节

3、例6(P354)中若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④17当干扰力的角频率p≈固有频率k时,自由振动强迫振动当p=k时,非齐次特解形式:代入④可得:方程④的解为18若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着t的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;p=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.19定理3(非齐次线性方程的叠加原理)和的特解,的一个特解,20例10解代入得21解代入得原方程通解为例1022解例1

4、1是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(B)也不对；二阶非齐次线性微分方程2324解例12求导，原方程改写为再求导，25对应齐次方程通解特征方程特征根代入得26初始条件:27练习：P394习题九28