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1、第六节二阶常系数非齐次线性微分方程小结思考题作业非齐次第十二章微分方程1方程对应齐次方程通解结构难点方法二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性微分方程如何求非齐次方程特解？待定系数法.2设非齐方程特解为求导代入原方程二阶常系数非齐次线性微分方程3综上讨论注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).不是根是单根是重根二阶常系数非齐次线性微分方程4解对应齐次方程通解特征方程特征根例(1)求对应齐次方程的通解(2)求非齐次方程的特解此题其中?二阶常系数非齐次线性微分方程5代入方程
2、,得原方程通解为对应齐次方程通解二阶常系数非齐次线性微分方程6解对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解此题例1988年考研数学一,8分二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数非齐次线性微分方程7(2)求非齐次方程的特解解得所以(3)求原方程的特解即特征根原方程通解为(求函数y的解析表达式)且二阶常系数非齐次线性微分方程8由题意,得即联立将之代入通解得所以,函数y的解析表达式为二阶常系数非齐次线性微分方程9练习是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解,函数的极限(A)不存在.(B)等于1
3、.(C)等于2.(D)等于3.2002年考研数学二,3分解二阶常系数非齐次线性微分方程101989年考研数学二,7分解两端再对x求导,得积分方程微分方程积分方程即即这是二阶常系数非齐次线性方程.练习二阶常系数非齐次线性微分方程111989年考研数学一,3分提示根椐线性微分方程的性质,可先求方程和的特解,两个解的和就是原方程的特解.特解.二阶常系数非齐次线性微分方程122000级北方交大考题,选择(3分)微分方程的特解的形式为解特征方程特征根对应的齐次微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程练习132
4、002年研究生考题,计算(7分)(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数解(1)因为二阶常系数非齐次线性微分方程14(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数解(2)相应的齐次微分方程为特征方程特征根对应齐次方程通解为二阶常系数非齐次线性微分方程15特征根非齐次方程的特解为代入方程,得方程通解为二阶常系数非齐次线性微分方程16于是幂级数二阶常系数非齐次线性微分方程17练习解对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解此题其中(2)求非齐次方程的特解199
5、2年考研数学一,6分二阶常系数非齐次线性微分方程18代入方程,原方程通解为对应齐次方程通解得二阶常系数非齐次线性微分方程19欧拉公式二阶常系数非齐次线性微分方程20欧拉公式注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.二阶常系数非齐次线性微分方程21解例(1)求对应齐次方程特征根其通解这是二阶常系数非齐次线性方程.且特征方程的通解二阶常系数非齐次线性微分方程22(2)求非齐次方程故设代入方程,比较系数.得这里特征根非齐次方程特解为是特征根.原方程通解为的特解.二阶常系数非齐次线性微分方程23二
6、阶常系数非齐次线性微分方程解例强迫振动与共振问题设一质量为m的电动振荡器安装在弹性梁L的A点处,的干扰力(H,p均为常数,H称为干扰幅度,p称为干扰频率),使得横梁发生振动.如图所示,取x轴过A点,方向铅直向下,轴的原点.如果不计阻力和A点处横梁的重量,试求A点在干扰力作用下的运动规律.如果不计阻力,则A点在振动时受到两个力的作用,一个是弹性恢复力另一个是干扰力牛顿第二定律振荡器开动时对横梁产生一个垂直方向并设平衡时A点在x24二阶常系数非齐次线性微分方程记上式化为初值条件二阶常系数非齐次线性微
7、分方程的初值问题.(1)求对应齐次方程特征根齐次方程的通解特征方程的通解且f(t)25(2)求非齐次方程的特解二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题.齐次方程的通解其中是弹性梁的固有频率.记根据固有频率k与干扰频率p的关系,情况讨论:※如果那么特征根不是特征根,故可设代入非齐次方程中,求得下面分两种26二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题.于是得非齐次方程的特解从而当方程的通解为由初值条件从而A点的运动规律为可定出C1与C2,齐次方程的通
8、解27二阶常系数非齐次线性微分方程上式表示,物体的运动由两部分合成.这两部分都是简谐振动.自由振动强迫振动强迫振动由干扰力引起,它的角频率就是干扰力的角频率p,当干扰力的角频率p与振动系统的固有频率k相差很小时,它的振幅可以很大.※如果那么是特征根,故可设代入非齐次方程中,特征根A点的运动规律二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题.求得28二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题.于是得非齐次方程的特解从而当方程的通解为由初值条件从而A点的运动规律为可定出C1与C2,齐
