二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件.ppt

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1、第四节二、欧拉方程二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数非齐次线性方程解法第九章★二阶常系数非齐次线性方程：一、二阶常系数非齐次线性方程解法对应齐次线性方程:(1)的通解结构:如何求(1)的特解？方法：待定系数法.类型1.设非齐次线性方程(1)的特解为x的待定多项式代入方程(1),得综上所述：注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).例1解不是特征根，是特征单根，由解的叠加原理，解2°对应齐次线性方程通解1°特征方程特征根代入方程,得例2例3解(1)(2)(2)之通解：代入(1)，得故(1)有特解：

2、(1)的通解为：另法:方程(1)为:(2)之通解：代入(1)，得故(1)有特解：(1)的通解为：=+ik非特征根0特征根1类型2.解2º对应齐次线性方程的通解例4代入原方程，得比较同类项系数：从而原方程有特解：故原方程通解为例5解例6解例7解解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.二、欧拉方程形如的方程(其中叫欧拉方程.为实常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．★作变量变换将自变量换为用表示对自变量求导的运算上述结果可以记为将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量的常系

3、数线性微分方程：求出这个方程的解后，把换为，即得到原方程的解.一般地，注与(8.6)对应的齐次线性方程的特征方程为：例8求欧拉方程的通解．解作变量变换原方程化为即或(1)或(1)方程(1)所对应的齐次线性方程为其特征方程特征方程的根为所以齐次线性方程的通解为设方程(1)的特解为代入方程(1)，得故方程(1)的通解为特征方程的根为变量代回，得所给欧拉方程的通解内容小结待定系数法：写出微分方程的待定特解的形式.思考题思考题解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）1.解综合题备用题例1-1解解例2-1特征根：解例3-1解

4、对应齐线性方程的通解作辅助方程代入辅助方程例4-1原方程的特解为：原方程通解为：（取实部）注.解例6-1课堂练习解