二阶常系数非齐次线性微分方程课件.ppt

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1、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解7/30/20211对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程7/30/20212设非齐方程特解为代入原方程一、型7/30/202132.二阶常系数线性非齐次方程的解法1自由项f(x)为多项式Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为y+py+qy=Pn(x),其中Pn(x)为x的n次多项式.当原方程⑥中y项的系数q0时，k取0；当q=0，但p0时，k取1；当p=0，q=0时，k取2.⑥因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设⑥式的特解为其中Qn(x)与Pn(x)是同次

2、多项式，7/30/20214例5求方程y-2y+y=x2的一个特解.解因为自由项f(x)=x2是x的二次多项式，则代入原方程后，有且y的系数q=10，取k=0.所以设特解为7/30/20215比较两端x同次幂的系数，有解得A=1，B=4，C=6.故所求特解为7/30/20216例6求方程y+y=x3–x+1的一个特解.解因为自由项f(x)=x3–x+1是一个x的三次多项式，则代入原方程后，有且y的系数q=0，p=10，取k=1.所以设方程的特解为7/30/20217比较两端x同次幂的系数：解得故所求特解为7/30/20218综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数

3、非齐次线性微分方程（k是重根次数）.7/30/20219特别地7/30/2021107/30/202111解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例27/30/202112解设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）例3写出微分方程的待定特解的形式.7/30/202113利用欧拉公式7/30/202114注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.7/30/202115解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例47/30/202116解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例57/30/202117所求非齐方程特解为原方

4、程通解为（取实部）注意7/30/202118解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例67/30/202119思考题写出微分方程的待定特解的形式.7/30/202120