二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题.ppt

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1、一、f(x)Pm(x)ex型二、f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型§12.9二阶常系数非齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和yY(x)y*(x)提示=[Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)]ex[Q(x)+2Q(x)+2Q(x

2、)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程ypyqyPm(x)ex特解形式为下页Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)——(＊)则得[Q(x)ex][Q(x)ex]q[Q(x)ex]y*py*qy*提示此时2pq0要使(＊)式成立Q(x)应设为m次多项式Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm(1)如果不是

3、特征方程r2prq0的根则y*Qm(x)ex下页一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程ypyqyPm(x)ex特解形式为Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)——(＊)则得提示此时2pq0但2p0要使(＊)式成立Q(x)应设为m1次多项式Q(x)xQm(x)其中Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm(2)如果是特征方程r2prq0的单根,则y*xQm(x)

4、ex下页(1)如果不是特征方程r2prq0的根则y*Qm(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程ypyqyPm(x)ex特解形式为Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)——(＊)则得提示:此时2pq02p0要使(＊)式成立Q(x)应设为m2次多项式Q(x)x2Qm(x)其中Qm(x)b0xmb1xm1bm1xbm(3)如果是特征方程r2prq0的重

5、根,则y*x2Qm(x)ex下页(2)如果是特征方程r2prq0的单根,则y*xQm(x)ex(1)如果不是特征方程r2prq0的根则y*Qm(x)ex一、f(x)Pm(x)ex型y*Q(x)ex设方程ypyqyPm(x)ex特解形式为Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)——(＊)则得结论二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解其中Qm(x)是

6、与Pm(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2下页提示因为f(x)Pm(x)ex3x10不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*b0xb1把它代入所给方程得例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解解齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30[b0xb1]2[b0xb1]3[b0xb1]3b0x2b03b12b03b0x3b13b0x2b03

7、b13x1提示3b032b03b11特解形式例2求微分方程y5y6yxe2x的通解解齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r60其根为r12r23提示齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x因为f(x)Pm(x)exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x(b0xb1)e2x把它代入所给方程得2b0x2b0b1x提示2b012b0b10>>>特解形式首页

8、例2求微分方程y5y6yxe2x的通解解齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r60其根为r12r232b0x2b0b1x因此所给方程的通解为因为f(x)Pm(x)exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x(b0xb1)e2x把它代入所给方程得特解形式二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyex