一类二元函数方程的常微分方程解法

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1、高等数学研究Vol.12,No.470STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJul.,20093一类二元函数方程的常微分方程解法王喜斌(湖南机电职业技术学院湖南长沙410151)摘要研究一类二元函数方程在某区间上的逐段严格单调的可微的形式解,探讨用常微分方程的可分离变量法求解此类二元函数方程的方法步骤.关键词二元函数方程;可分离变量方程;可微解.中图分类号O175.1文献[1]提供了满足函数方程x+yf(x)+f(y)f()=(1)x-yf(x)-f(y)的实值连续函数的一种求法,但过于复杂.本

2、文将给出该问题的另一种解法.引理对于一类二元函数方程:f(W(x,y))=R(f(x),f(y)),(2)假设(ⅰ)W(x,y)和R(u,v)(其中u=f(x),v=f(y))分别在I×I和J×J内存在偏导数,这里I表示区间(a,b),J表示区间(c,d);(ⅱ)存在W,R,其中W(x)在I连续,W(x)≠0;R(u)在J内连续,R(u)≠0,使得9W9WW(x)/=±,9x9yW(y)9R9RR(u)/=±,9u9vR(v)且两等式的右边取相同的符号.则函数方程(2)在某区间上的逐段严格单调的可微的形式解f为

3、:-1f(x)=F(c∫W(x)dx+c1).其中,F(u)=∫R(u)du只表示R(u)的一个原函数,常数c或c1由所求得的可微的形式解f(x)代入函数方程(2)确定.证明令u=f(x),v=f(y),对函数方程(2)的两边关于x和y分别求偏导数,有9W9Rdu9W9Rdvf′(W)=·,f′(W)=·.(3)9x9udx9y9vdy由于只考察某区间上严格单调的、可微的未知函数f,故总可假定f′≠0.这是因为,若在某些个别点处有f′=0,那就可以这些点将原区间划分成几个子区间,在每一个子区间上,f是严格单调的

4、,且f′≠0.再由条件(ⅰ)、(ⅱ),将(3)中的左右两式相除,可得R(u)duR(v)dv=W(x)dxW(y)dy考虑到x与y的任意性,从上式即能得到关于u=f(x)的可分离变量方程3收稿日期:2007-03-15.第12卷第4期王喜斌:一类二元函数方程的常微分方程解法71R(u)du·=c.(4)W(x)dx因R(u)≠0,W(x)≠0,又u=f(x)是严格单调的可微函数,故方程(4)中的c是不为零的常数.将方程(4)分离变量,得到R(u)du=cW(x),(c≠0.)(5)由于R(u)与W(x)分别是I

5、与J内的连续函数,(5)式的两边分别对u和x积分,即得∫R(u)du=∫cW(x)dx+c1(c1为任意常数).不妨设∫R(u)du与∫W(x)dx分别表示R(u)与cW(x)的一个原函数,并记F(u)=∫R(u)du,这样,上述结果又可写成F(u)=c∫W(x)dx+c1.由于在J内,F′(u)=R(u)≠0,根据隐函数存在定理可知,上式确定了I上的一个隐函数-1u=F(c∫W(x)dx+c1).-1显然u=F(c∫W(x)dx+c1)是微分方程(4)的解,从而-1f(x)=F(c∫W(x)dx+c1)(c1

6、为任意常数)(6)是满足条件(ⅰ)、(ⅱ)的函数方程(2)的严格单调的、可微的形式解.方法由上述原理,这类二元函数方程(2)的解法步骤可归纳如下:第一步验证(2)中的W(x,y)和R(u,v)是否满足(ⅰ)和(ⅱ),写出R(u)与W(x);第二步构造关于u=f(x)的可分离变量方程(5).解此方程得到形式解(6).第三步将形式解(6)代入函数方程(2)以确定c或c1,从而得到严格单调的可微解f(x).注所求得的可微解f(x)的定义域应该是使f(x)严格单调且可微的一个或几个区间.由于初等函数(除去常函数)是逐段

7、严格单调的、可微的,因此根据上述方法求得的函数方程的可微解与用其他方法求得的连续解常常是同一个函数.例1求解函数方程(1).解容易验证函数方程(1)满足条件(ⅰ)和(ⅱ),这里x+yu+vW(x,y)=,R(u,v)=.x-yu-v从而有:9W19R19xx9uu=-,=-.9W19R19yy9vv11在(-∞,0)或(0,+∞)内W(x)=(≠0)和R(u)=(≠0)都是连续的.xu根据前述方法,构造并解关于u=f(x)的可分离变量方程1cdu=dx(c≠0),ux72高等数学研究2009年7月可得方程(1)

8、的逐段严格单调、可微的形式解为:cu=f(x)=c1x,(c1为任意常数).将其代入方程(1),得:ccx+yx+yccc=c1().x-yx-y若令x=1,y=0,立得c1=1.这样就有:ccx+yx+yccc=().x-yx-yccc若再令x=2,y=1,又得到3(2-1)=2+1,即cc(3-1)(2-1)-2=0.容易证明,c=1是上式的惟一解.这是因为,c=1显然是上式的解;