常微分方程的解法

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1、第十五章常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。§1常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是(1)在下面的讨论中，我们总假定函数连续，且关于满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数，使

2、得这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。所谓数值解法，就是求问题（1）的解在若干点处的近似值的方法，称为问题（1）的数值解，称为由到的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量。建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：（i）用差商近似导数若用向前差商代替代入（1）中的微分方程，则得化简得如果用的近似值代入上式右端，所得结果作为的近似值，记为，则有（2）这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题（3）得到，按式（3）由初值可逐次算出。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。-191-需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得

3、到不同的计算公式。（ii）用数值积分方法将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端积分，得(4)右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。（iii）Taylor多项式近似将函数在处展开，取一次Taylor多项式近似，则得再将的近似值代入上式右端，所得结果作为的近似值，得到离散化的计算公式以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中的Taylor展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差。§2欧拉（Euler）方法2.1Euler方法Euler方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方

4、程初值问题（1）的解，即由公式（3）依次算出的近似值。这组公式求问题（1）的数值解称为向前Euler公式。如果在微分方程离散化时，用向后差商代替导数，即，则得计算公式（5）用这组公式求问题（1）的数值解称为向后Euler公式。向后Euler法与Euler法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。向前Euler公式是显式的，可直接求解。向后Euler公式的右端含有，因此是隐式公式，一般要用迭代法求解，迭代公式通常为（6）2.2Euler方法的误差估计对于向前Euler公式（3）我们看到，当时公式右端的都是近似的，所以用它计算的会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比

5、较简单的所谓局部截断误差。假定用（3）式时右端的没有误差，即，那么由此算出（7）-191-局部截断误差指的是，按（7）式计算由到这一步的计算值与精确值之差。为了估计它，由Taylor展开得到的精确值是（8）（7）、（8）两式相减（注意到）得（9）即局部截断误差是阶的，而数值算法的精度定义为：若一种算法的局部截断误差为，则称该算法具有阶精度。显然越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前Euler方法是一阶方法，因此它的精度不高。§3改进的Euler方法3.1梯形公式利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分，即并用代替，则得计算公式这就是求

6、解初值问题（1）的梯形公式。直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为(10)由于函数关于满足Lipschitz条件，容易看出其中为Lipschitz常数。因此，当时，迭代收敛。但这样做计算量较大。如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导出一种新的方法—改进Euler法。3.2改进Euler法按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将Euler公式与梯形公式结合使用：先用Euler公式求的一个初步近似值，称为预测值，然后用梯形

7、公式校正求得近似值，即-191-（11）式（11）称为由Euler公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进Euler法。为便于编制程序上机，式（11）常改写成（12）改进Euler法是二阶方法。§4龙格—库塔（Runge—Kutta）方法回到Euler方法的基本思想—用差商代替导数—上来。实际上，按照微分中值定理应有注意到方程就有（13）不妨记，称为区间上的平均斜率。可见给出一种斜率，（13）式就对应地导出一种算法。向前Euler公式简单地取为，精度自然很低。改进的Euler公式可理解为取，的平均值，其中，这种处理提高了精度。如上分析启示我们，在