常微分方程的数值解法53688

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1、第六章常微分方程的数值解法§6.0引言§6.1算法构造的主要途径§6.2Runge-KuttaMethod算法§6.3线性多步法§6.4线性多步法的一般形式§6.5算法的稳定性、收敛性§6.0引言1．主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解:微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。2.例如微分方程:xy'-2y=4x；初始条件:y(1)=-3。于是可得一阶常微分方程的初始问题。显然函数y(x)=x2-4x满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。2.但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示

2、的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。4．微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x0=a，将[a,b]进行划分得一系列节点x0,x1,...,xn，其中a=x0

3、式1.1构造的思想：微分方程初值问题:利用差商代替一阶导数，即，则。于是，可求出y(x1)的近似值y1，同样地，可利用x1处的微分方程可得：一般地，利用在xn处的微分方程可得：此式称为欧拉公式。1.2几何意义：对于微分方程y'=2(x+1),其通解是y=(x+1)2+c,是一个曲线族，当给定初值条件y(0)=2，其特解为y=(x+1)2+1。如图所示：由y(0)=2，过该曲线上一点(0,2)作曲线的切线，其斜率，∴切线为：,因此可计算出y1,如此，可根据：，…故欧拉法又称欧拉折线法。1.3算例：例：解：h=0.2,xi=1+ihy1=y0+hf(x0，y

4、0)=-1+0.2×y2=y1+hf(x1，y1)=-1+0.2×y3=y2+hf(x2，y2)=-0.9333+0.2×y4=y3+hf(x3，y3)=0.8+0.2×y5=y4+hf(x4，y4)=0.6+0.2×y6=y5+hf(x5，y5)=0.3333+0.2×精确解为：y=x2-2xxky(xk)ykek1.2-0.96-10.041.4-0.84-0.93330.09331.6-0.64-0.80.161.8-0.36-0.60.242.00-0.33330.33332.20.4400.44可以看出误差随着计算在积累。1.4Euler法的特

5、点和误差迭代格式：特点：(1)单步方法；(2)显式格式；(3)局部截断误差为。局部截断误差：当时，由按照欧拉方法计算来的的误差称为局部截断误差。即，是局部截断误差。如：欧拉法得：因此，局部截断误差是。2改进Euler法2.1方法构造在微分方程初值问题,对其从到进行定积分得:将右端的定积分用梯形公式来进行近似计算。用和来分别代替和得计算格式:这就是改进欧拉方法。2.2显式格式和隐式格式在欧拉式中每一步计算已知,直接用格式可以计算出,此类格式称为显式格式。而在改进欧拉方法中在每一步计算中是未知,待求的,未知量在中这是一个方程,如是非线形或超越函数,此方程是无

6、法直接解出来(要依靠迭代法才能解出)。这类格式称为隐式格式。2.3算例例:用改进欧拉方法求解。解：解得:注意：由于,是线形函数可以从隐式格式中解出。问题的精确解是欧拉方法误差……………3预测－校正方法由于改进Euler法是隐式格式，无法从格式中直接求出必须要解方程。下面用预测－校正方法来求隐式格式中的。预测值:校正值:此式相当于对隐式格式求时采用迭代的方法,用欧拉格式得到的作为初始值迭代公式迭代一次而已,此公式代入后得:如改写成平均的形式为:§6.2龙格-库塔法Runge-KuttaMethod1龙格-库塔法的思想1.1考虑微分方程的初值问题:根据微分中

7、值定理有：，其中0<θ<1。于是即我们称为y(x)在区间[xk,xk+1]上的平均斜率，记作K，其中，θ是存在但是未知的。因此，如何对平均斜率K进行近似计算，相应地就得到一种近似公式，或称为微分方程的一种计算格式。1.2例如：用f(xk,yk)作为平均斜率K的近似值就得到欧拉格式：。用作为平均斜率K的近似值就得到比欧拉格式高一阶精度的格式，即，改进欧拉格式的预测-校正方法:1.3启发(Motivative)能否在二维平面中x∈[xk,xk+1],y∈[yk,yk+1]上多找一些f(x,y)点，在这些点上作函数值的平均数并以此作为平均斜率K的近似值。由于自

8、由度的增加，使得的p能够提高，从而达到提高精度的目标，这就是龙格-库塔法的基本思