常微分方程数值解法

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1、i.常微分方程初值问题数值解法本章讨论常微分方程初值问题数值解法，主要是差分法。解微分方程的所谓差分法的要点如下：首先是区域的离散，即将连续的求解区域离散化成有限个网格点。其次是方程的离散，例如用差商代替微商，或者对微分方程积分使之变成积分方程，然后数值积分，或者……。最后得到网格点上的近似解所满足的一个差分方程，解之即得差分解。i.1常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数满足（i.1a）(i.1b)其中是定义在区域:,上的函数，和是给定的常数。我们假设对满足Lipschitz条件，即存在常数使得（i.2）这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连

2、续依赖于初值。通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler法。为此，首先将求解区域离散化为若干个离散点：（i.3）其中，称为步长。在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在处，在（i.1a）中用向前差商代替微商，便得如果忽略误差项，再换个记号，用代替便得到一般地，我们有（i.4）从(i.1b)给出的初始值出发，由上式可以依次算出上的差分解。下面我们用数值积分法重新导出Euler法以及其它几种方法。为此，在区间上积分常微分方程（

3、i.1a），得（i.5）用各种数值积分公式计算（i.5）中的积分，便导致各种不同的差分法。例如，若用左矩形公式就得到Euler法（i.4）。如果用右矩形公式，便得到下面的：（i.6）类似地，如果用梯形公式，就得到(i.7)当关于是非线性函数的时候，不能由（i.6）和(i.7)从直接算出，称这一类方法为隐式，通常采用某种迭代法求解。例如，将一般的隐式方法写成(i.8)则可以利用如下的迭代法由算出：(i.9)关于的迭代通常只需进行很少几步就可以满足精度要求了。为了避免对隐式方法进行迭代的麻烦，比如说对于改进的Euler方法（i.7），可以采用某种预估法近似算出，然后再用（i.

4、7）作校正，这就导致所谓预估校正法。下面给出一个例子：（i.10）这是一个多步法，即计算节点上的近似值时，除了用到前一点的近似值之外，还要用到，甚至可能用到。而用前面的各种Euler法计算节点上的近似值时，只用到，因此称之为单步法。下面给出另一个多步法的例子。在区间上积分（i.1a），得用Simpson公式(即把被积函数看作二次函数)近似计算积分，便得到（i.11）用多步法（i.10）或（i.11）计算时，必须先用某种单步法由计算出，称为造表头。然后再逐次算出。一般说来，多步法比Euler法等简单的单步法精度要高一些。下面我们讨论一类所谓Ronge-Kutta法。他们是单

5、步法，但是其精度可以与多步法比美。最常用的是下面的标准Ronge-Kutta法和Gear法：（i.12）(i.13)从几何上，Ronge-Kutta法可以粗略地解释为：在区间中选取若干个点(可以重复)，仅仅利用在区间内可以得到的所有信息，依次给出函数在这些点上尽可能精确的的近似值，然后把它们组合起来，尽可能精确地近似计算（i.5）中的积分。Ronge-Kutta法一般的构造方式如下。选定常数，令（i.14）选取这些待定常数的原则是：将（i.14）在作Taylor展开，然后按照的幂重新整理，使得（i.15）与微分方程（i.1a）的解在处的Taylor展式（i.16）有尽可能

6、多的项重合，即要求这里等等。按照（i.14）构造出的都是显式Runge-Kutta方法,在每一个的表达式中只出现。如果允许在某一个的表达式中出现，则可以导出隐式Runge-Kutta方法。i.2常微分方程组与高阶常微分方程先来考虑下面的常微分方程组初值问题(i.17)利用向量记号,上式可以改写为(i.18)上节中各方法都可以直接应用到常微分方程组(i.18)。例如，Euler方法成为再来考虑高阶常微分方程(i.19)这时,可以令(i.20)(i.21)(i.22)于是可以把高阶常微分方程(i.19)化成一阶常微分方程组(i.18)。i.3收敛性与稳定性截断误差粗略地说，截

7、断误差可以定义为将微分方程解带入到差分方程后得到的误差，代表了微分方程与差分方程之间的误差。例如，由Taylor展式和微分方程(i.1a)得到其中是区间上某个常数。与Euler法相比较，定义余项为Euler法的截断误差，它关于是2阶的，记为。将上节中讨论的单步法写成一般形式，则可以定义截断误差为。对于每一个差分法在适当的点（例如，或者）作Taylor展开，就可以得到截断误差的阶。对多步法可以类似处理。上节中各方法的截断误差阶分别为：表i.1常微分方程差分法的截断误差阶差分法Euler隐式Euler改进Euler预估校正(i.1