常微分方程 数值解法

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1、第8章　常微分方程实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。本章讨论常微分方程的数值解法对于一个常微分方程：通常会有无穷个解。如：因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：常

2、微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。例：我们对区间做等距分割：设解函数在节点的近似为由数值微分公式，我们有，则：向前差商公式可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的基本步骤如下：③解差分方程，求出格点函数①对区间作分割：求在上的近似值。称为分割上的格点函数②由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足：A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。这种方法，称为数值离散方法。求的

3、是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些点上的值的近似。我们的目的，就是求这个格点函数为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：①步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题②误差估计③产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题8.1Euler公式做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。1、向前差商公式所以，可以构造差分方程称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累定义在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y

4、(xi+1)yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。记为2、收敛性考察局部误差的传播和积累称为整体截断误差是1阶方法3、稳定性－误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用我们考虑一种简单情况，即仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。设是初值有误差后的计算值，则所以，我们有：可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小，以后各步的误差也充分小4、向后差商公式是隐格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出5、中心差商公式是多步，2

5、阶格式，该格式不稳定6、梯形法－基于数值积分的公式对微分方程做积分，则：类似，可以算出其误差估计式：2阶的方法所以，有格式为：是个隐式的方法，要用迭代法求解局部截断误差8.2Runge－Kutta法由Taylor展开记为所以，可以构造格式这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。从另一个角度看，取(x,y)及其附近的点做线性组合，表示F，问题就好办了。当然，要求此时的展开精度相同。这种方法称为Runge－Kutta法在(x,y)处展开，比较以2阶为例，设有：1、改进的Euler公式2、Heun公式一般的Runge－Kutta法构造常见的为3阶，4阶公式8.3

6、线性多步法用若干节点处的y及y’值的线性组合来近似y(xn+1)。)...(...110111101knknnnknknnnffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可写为：当10时，为隐式公式;1=0则为显式公式。基于数值积分的构造法将在上积分，得到只要近似地算出右边的积分，则可通过近似y(xn+1)。而选用不同近似式Ik，可得到不同的计算公式。若积分用节点作为积分点，则有积分系数这是显格式，q+1阶r+1步格式。r=max{p,q}为积分节点，可以构造r+1步q+1阶隐格式局部截断误差同样，若以例：建立p=1,

7、q=2的显格式p=1，q=2，显格式，积分区间为积分节点为所以例：建立p=2,q=2的隐格式p=2，q=2，隐格式，积分区间为积分节点为所以它的截断误差较显格式小，通常也具有更好的稳定性。Adams公式－－p=0时候的多步法参见书§8.4方程组和高阶方程的数值解法写成向量的形式：各种方法都可以直接运用过来。Euler公式以两个方程的方程组为例Runge-Kutta公式1、2、确定方法，然后求解（0.202760.0881157）（0.2130070.0934037）（0.2237630.0988499）（0.2350520.104437）（0.2469

8、020.110146）4阶Runge-Kutta法，h=1高阶方程则有：令例：考