7常微分方程数值解法

《7常微分方程数值解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、实用标准文案第7章常微分方程数值解法7.0基本概念1.一阶常微分方程的初值问题(7.0-1)注：若f在D={a£x£b,

2、y

3、<+¥}内连续，且满足Lip条件：$L³0，使

4、f(x–y1)–f(x，y2)

5、£L

6、y1–y2

7、(7.0-2)则(7.0-1)的连续可微解y(x)在[a，b]上唯一存在。2.初值问题的数值解称(7.0-1)的解y(x)在节点xi处的近似值yi»y(xi)a

8、=y0出发，依次逐个计算y1，y2，…，yn的值，称为步进法。两种：单步法、多步法。③二阶常微分方程y''(x)=f(x，y(x)，y'(x))可设为一阶常微分方程组的初值问题：引进新的未知函数z(x)=y'(x)，则其初始条件为：称为一阶微分方程组的初值问题，方法类似。④边界问题，常用差分方法解。7.1初值问题数值解法的构造及其精度7.1.1构造方法对于(7.0-1)可借助Taylor展开（导数法）、差商法、积分法实现离散化来构造求积公式：1.设yÎC[a，b]将y(xi+1)=y(xi+h)在xi处展开精彩文档实

9、用标准文案xÎ[xi，xi+1]Þy(xi+1)»yi+hf(xi，yi)其中yi»y(xi).称yi+1=yi+hf(xi，yi).i=0，1，2，...，n–1(7.1-1)为Euler求解公式，（Euler法）2.用差商来表示：得差分方程：Þyi+1=yi+hf(xi，yi).即为Euler公式。若记Þyi+1=yi+hf(xi+1，yi+1).(7.1-2)称为向后Euler法。注：①Euler法为显式，向后Euler法为隐式——须解出yi+1.②可用迭代法yi+1(k+1)=yi+hf(xi+1，yi+1(

10、k))k=0，1，2，…解得yi+1其中yi+1(0)=yi+hf(xi，yi).3.对(7.0-1)两边取积分得(7.1-3)取不同的数值积分可得不同的求解公式，为：①用矩形公式：Þy(xi+1)»y(xi)+hf(xi，y(xi))ÞEuler公式y(xi+1)»y(xi)+hf(xi+1，y(xi+1))Þ向后Euler公式②用梯形公式：ÞÞ(7.1-4)称(7.1-4)为梯形公式¾¾隐式公式。显化：预估值：校正值：.4.几何意义Euler法¾¾折线法精彩文档实用标准文案改进Euler法¾¾平均斜率折线法例1：

11、例2：P473,P4747.1.2截断误差与代数精度定义7.1-1①称ei=y(xi)–yi为数值解yi的（整体）截断误差。②若yk=y(xk)，k=0，1，2，…，i–1.由求解公式得数值解，则称为yi的局部截断误差。注：局部截断误差是指单步计算产生的误差，而（整体）截断误差则考虑到每步误差对下一步的影响。定义7.1-2若求解公式的（整体）截断误差为O(hp)则称该方法是p阶方法，或是p阶精度。定理7.1-1设数值解公式：yi+1=yi+hj(xi，yi，h)中的函数j(x，y，h)关于y满足Lipsc

12、hitz条件：，且其局部截断误差为hp+1阶，则其（整体）截断误差为hp阶，即该数值解公式为p阶方式。注：①局部截断误差较易估计定理7.1-1表明：若ei=O(hp+1)则ei=O(hp).②Euler局部截断误差为所以一阶精度。向后Euler法也是一阶精度。③梯形公式为二阶精度。例1：用Euler方法求解初值问题：取步长h=0.1，并与准确解比较解：因为xi=1+0.1i，而f(x，y)=y+(1+x)y2，故f(xi，yi)=yi+(2+0.1i)yi2于是Euler计算公式为yi+1=yi+0.1[yi+(2+

13、0.1i)yi2]，i=0，1，2，3，4计算结果见P473表7.1-1注：Euler方法精度较低例2：用改进Euler方法求解初值问题：精彩文档实用标准文案取步长h=0.1，并与准确解比较解：xi=1+0.1i，于是改进Euler法的计算公式为i=0，1，2，3，4计算结果见P474表7.1-2注：改进Euler方法精度比Euler方法精度高7.2Runge¾Kutta方法7.2.1构造高阶单步法的直接方法由Taylor公式：当h充分小时，略去Taylor公式余项，并以yi、yi+1分别代替y(xi)、y(xi+1

14、)，得到差分方程：(7.2-1)其局部截断误差为：即(7.2-1)为p阶方式，上述方式称为Taylor方式。注：利用Taylor公式构造，不实用，高阶导数f(i)不易计算。7.2.2Runge¾Kutta方法1.基本思想因为=y(xi)+hf(x，y(x))=y(xi)+hKx其中Kx=f(x，y(x))称为y(x)在[xi，xi+1]上的平均