数值积分与常微分方程的数值解法

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1、●Euler法及其改进●Runge-Kutta法●梯形法●Simpson法●离散点数据的求积第三章数值积分与常微分方程的数值解法数值积分常微分方程的数值解法1.f(x)函数形式已知，但其积分不能表示成初等函数的闭合形式2.f(x)函数形式未知，但其离散数据表已给出3-1-1梯形法——方法原理基本思想：复化求积，即从近似计算为出发点，用有限项的求和计算来代替从而求出定积分的近似值。定步长：求f(x)在[a,b]上的定积分xyy=f(x)abxk-1xkhIkh——步长变步长：N个区间，h，T12N个区间，h/2，T2

2、T2-T1

3、

4、-1梯形法——方法原理例：Debye-Einstein公式推导得到计算固体热容的公式为其中：D为Debye温度，R为气体常数8.314JK-1mol-1已知固体的Debye温度如下：PbAgCuAlFeKClNaClCD/*K882153153984202272811910求在50，100，298.15，500，1500K时，各固体的热容。3-2-1-1Simpson法——问题的提出求积分Simpson法是把积分区间分割成有限个小区间，在每个小区间上采用二次抛物线来近似被积函数f(x)的图形，近似求出小区间的面积，然后再将有限个小区间相加得到被积函数的近似值。xyy=f(x

5、)xi-1xi+1xiy=g(x)hhSi定步长:3-2-1-2Simpson法——方法原理变步长：其中：3-2-1-2Simpson法——方法原理判据：3-2-1-2Simpson法——方法原理3-2-1-3Simpson法——程序框图Simp(A,B,EPS,S2,F)N=1,H=B-A,S1=0,T1=H*(F(A)+F(B))/2DOK=1，NS=0S=S+F(A+(K-1/2)*H)T2=(T1+H*S)/2,S2=T2+(T2-T1)/3,D=

6、S2-S1

7、

8、S2

9、>1D=

10、(S2-S1)/S2

11、D

12、=S2Yes3-2-1-4Simpson法——应用示例开始输入：Debye温度T（5），精度EPS，温度THETA输出：固体的热容Cv结束调用Simpson积分法子程序计算式右方积分值S2计算：XM=THETA/T(I)(I=1,N)输入：积分上下限A=10-4，B=XMB=0YesNo固体的热容Cv=9R/XM**3*S2显示程序显示输出3-1-3–1离散点数据的求积——方法原理实验时，得不到变量间的关系式，只测量到（xi,yi）的离散点数据。xyab方法：1.用插值程序求任意点的函数值。一元三点Lagrange插值：2．用Simpson求积程序计算[a,b]区间中离散点下的

13、面积。Simp(M,A,B,X,Y,EPS,S2)N=1,H=B-A,（1）；S1=0,T1=H*(F(A)+F(B))/2DOK=1，NS=0（2）；S=S+F(A+(K-1/2)*H)T2=(T1+H*S)/2,S2=T2+(T2-T1)/3,D=

14、S2-S1

15、

16、S2

17、>1D=

18、(S2-S1)/S2

19、D

20、1）积分，并取极低压力下气体视为理想气体，得逸度：φ为逸度系数（2）例1：实际气体逸度的计算已知p~Vm数据3-1-3–3离散点数据的求积——应用示例开始输入：数据点数N，精度EPS，温度T压力p和摩尔体积Vm的实验数据X(I),Y(I)（I=1，N）输出：B,FI,FF结束调用离散点求积子程序计算（2）式右方积分值S计算：Y(I)=1/X(I)-Y(I)/RT(I=1,N)输入：要计算的压力P，积分上下限A=0，B=PB=0YN逸度系数FI=EXP(S),逸度FF=FI*B例2：已知固体Pb的热容Cp~温度T数据，求从15K到550K的固体Pb的焓变。例3：分子标准熵S及Cp

21、~T数据，求500K时的熵S值。T1：298.15KT2:500K3-1-3–3离散点数据的求积——应用示例已知数据例4：合成氨反应焓变H与温度T数据，已知623K下Kp1，求773K下Kp2。T/K623.0648.0637.0698.0723.0748.0773.0H/kJ·mol-1-50.7879-51.1390-51.4738-51.7943-52.1006-52.3929-52.67153-1-3–3离散点数据的求积——应用示例开始输入：焓变与温度的实验数据X(I),Y(I)