恰当方程的解法及其应用

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1、万方数据教学方法r恰当方程的解法及其应用一．1油要】恰当方程是一阶常微分方程中最具有代表性的方程，本文详细的介绍了它的几种解法，和它的一些应用。【关键词】恰当方程解法应用积分因子有关恰当方程的概念定义⋯：对于一阶微分方程^积芦，y)出十^b，力秒=0(1．1)其中^戤，力与N(x，y)都具有一阶连续偏导数，如果(1．1)左端恰好是某个二元函数“ky)的全微分，即胁，y)dr+N(x，y)dy=-du(x，y、，_V。U，dx+动UU(1．2)则称(1．1)为恰当方程。解恰当方程的过程就是求函数u(x，力的过程。为了求出u(x，力可以利用下面四种

2、方法进行。恰当方程的解法1．利用公式法解恰当方程由号}州和号}-N分别对y、球偏导数，得到怒=警，怒=筹．由于百ON，警的连续性，故罢=碧(2．·j。。因此，(2．1)是(1．1)为恰当方程的必要条件。下面证明(2．1)是(1．1)的充分条件．在(2．1)中把y看作参数，解这个方程，得甜=，Mo，办如椰蚴(2．2)其中m◇)是y的任意可微函数。因为斋=茜．fMG，力甜掣-N，所以掣-N一岳又因为去时—斋．fM伉脚弓等—嘉岳．『M优办捌；8％嚼歹M伍删《考；o。所以m∽=，【N一专．rM阮y),tr]ay．(2．4)将(2．4)代入到(2．2)二

3、有l产．fMk脚【，N—品，M阮y№ldy因此，恰当方程(1曼)确通鹪就是．rM伉y)dr+S【N一号．I．M@，y)dx]dy=c(c是任意常数)(2．5)例1．求(掰+6矿)姗(6xay+4ya)dy=O的通解。解：设肘=缸埘，肚而：w，财客冬1匆誓l匆因此所求方程是恰当方程。存在函数玑x，力使罢÷=6力w由第一式对x积分，得到萨矿+3璎却()，)，为了确定妒(y)，将上式对)，求导数，并使之满足器，即得器‘=缸砂掣稚w，于矽转，即妒(y)可故耐+幼叫，方程的通解为，州斗)，‘_c(是任意常数)．例2H求微分方程驴矿+(蚺c。眇和的通解。’

4、解：设朋ky)=3y+e，Ⅳ孤护3x+cosy因为将3．所以该方程为恰当方程。存在函数玑‘力，使得等耖+矿，{争3什co缈．由第一式对嗣双分可以得到u(x，y)=3yx+P件缈(y)，为了确定9(y)，将上式对)，求导，并使它满足挚3x+cosy，即得篙予3对旦：笋3x+cosy所以型!}；‰osy．则妒(y)=siny,将其代入函数“阮力可得如y)=3yx+e％siny．方程的通解为3yx+e'+sinT-e(是任意常数)。2．用‘‘分项组合’’的方法解恰当方程．例3．用“分项组合”的办法。求解例l。解：原方程为(3x2+6xf)甜(6西卜h

5、∥)dy=0我们将方程重新‘分项组合”，得到3xZdx+4ySdy+6xfdx+6x'ydy=O．即群电矿+3y2dr2+3x2dy2=O所以P+，+3x2f=c(是任意常数)例4．求解方程(cos什寺)斑+‘了I一旁出=0解：因为簪一专，弓争一i争：故≥程是恰当方程。把方程重新‘分项组合”，得到CO蝴酣号妒(．弘一专却=o，li[Idsinx+dlnLvl+．唑二业o’。矿或者写成d(sinx+haLvl+÷)：=0．于是，方程的通解为sinx+ha[vl+{，(是任意常数)．·3．用‘积分对比法'’解恰当方程陋：M给定了恰当方程(1，1)，

6、根据恰当方程的定义有【3】{窥tr’【砂在这个方程组中为了求解未知函数“G，力，先把材k力用积分的形式标叫：：蒜篇裂c黼∞只与埔关，即JMdy+口o()，)2JNay+P∽来确定_

7、f，∞，P(y)，由等式的性质便可得yG)，妒(Y)的表达式，把缈∽，9(y)带入方程组．可得u(x，力的表达式，从而恰当方程(1．1)的通解为u(x，_)，净c(c为任意常数)．例57求方程(e”+cos∞叻+3d面矿)d针(cos(对，，)+6xZy+4f+e”)砂=o的通解。解：设M=e”+cosQ杪)+3P+6xf，N=cos(砌)+6矿一9七e”因为号告g

8、”一sinQ抄卜12碟所以原

9、力蓓b匿!除当方匣设如胤f“O，y)=』肘出+币◇)=』e“’●coso+y)+3，+6xy2弦十9◇)【“◇，)，)=Ndy+Wo)=』(cos(x+y)+6x2y+4y3+矿”涉+、I，o)即e”+sin(H力枷妁，q中()，)：=sin(—力+3妁产斗)H矿斗】

10、c，∞所以llc，(x)----x'，妒(Y)卅：^以上方程组，有妣y)=e”+sin万方数据教学方法(H卅r，+3力毒吵则原方程通解为e”+sin(xW)+x％3x2y2-W'=c(C为任意常数)。例6．求方程乃y幽+妒+1)矗=o的通解。解：诅：

11、M2xy，N=d+l，因塄=2x=豢黝嬲是恰当力程设“伉力使它同时满足：毗护IM办却(Y)鼍≯叩(Y)，u(x，庐JNdx+缈(工)鼍f附妒(工)+贝