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1、一阶微分方程的初等解法及其应用摘要:本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用，把微分方程的求解问题化为积分问题，应用到实际中.用理论指导实践，由抽象总结出具体规律，加深对所学知识的理解.关键词:变量分离方程;恰当微分方程；常数变易法；枳分因子.TheSolutionofFirst-orderDifferentialEquationsAbstract:Thisarticlefocusesonthesolutionoffirst-orderdifferentialequationsanditsseveralapplications，through
2、differentmethodstosolvethisimportanttechnologyfortheapplicationofintegration.Theoriestoguidepractice,Fromtheabstractintoconcretelaws,soastoenhancetheunderstandingoftheknowledge.Keywords:separableequations;exactequations;constantvariation;integratingfactor.引言一阶微分方程的解法与很多，而且技巧
3、性也很强，本文仅介绍了一些简单的方法和其应用.如变量变换法，常数变易法，恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.1.变量分离法1.1变量分离方程的解法形如dx的方程，称为变量分离方程，这里/CO，时y）分别是的连续函数如果^（＞，）#0,我们可将（1）改写成dy(p(y)这样，变量就"分离"开来了.两边积分,得到这里我们把积分常数C、明确写出来J念十（麟+c.而把］*$，J/（X）也分别理解为识(.V)，/（x）的原函数.常数c的取值必须保证（2）冇意义，如无特别声明，以后也作这样理解.把（2）理解为＞，,x，c的隐函数关系式0＞（y
4、，x，c）二0或y的x，c函数关系式y=＞，（x，c）.微分⑵两边，知对任意常数c,由（2）所确定的函数关系式y=y（x，c）满足（1），因而（2）是（1）的通解.因（2）式不适合（p（y）=O的情形.但如果存在y。使炉（yG）二0，则直接验证知y=），0也是（1）的解.因此，还必须寻求O（y）=0的解y。，当＞，=凡不包括在方程的通解（2）中时，必须补上特解7=凡.1.2变量分离法的应用例1求一曲线族，使它的切线介于坐标轴的部分被切点分成相等的两部分.解设所求的曲线方程为y=y（x），过曲线上任一点P（x，y）的切线交ox轴于A点,交巧，轴于
5、点.由题意，P为的中点，不妨设A（2x，0），B（0,2＞，），则切线的斜率为-2,另一方面，曲线在P点的斜率为#，因此xdxdy__ydx—将变量分离，得到Hdx，y两边积分得ln
6、y
7、=-lnjc.因此方程的通解为;即得所求的曲线族为;这里C为任意常数.(5)(6)1.3可化为变量分离方程的类型这里只是介绍一种简单的情形.形如X(3)的方程，称为齐次微分方程，这里以幻是W的连续函数.作变量变换(4)即=UX，于是dxdx将（4），（5）代入（3），则原方程变为X年+U=g(U).dx整理后，得到du_g(u)-udxx方程（6）是一个变量分
8、离方程.可按分离变量的方法求解，然后代回原来的变量，便得方程的解.1.4可化为变量分离方程的一类方程的应用例2xy-y=xtan—.x解将方程改写成仝=Z+tan2,dxxx这是齐次方程.作变换y=/，代入原方程得到duu+x—=w+tanw•dx即cotudu=—(sinu0).xw边积分得sinu=ex,代回原变量，得通解sin-=此外，方程还有解sinw=0,它包含在通解中.1.线性微分方程与常数变易法2.1常数变易法(7)(8)一阶线性微分方程dx其中P(x)，(2(x)在考虑的区间上是X的连续函数.若(2U)=0，(7)变为字=牠cl
9、x(8)称为一阶齐次线性微分方程.若!2U)*0,(7)称为一阶非齐次线性微分方程.(8)是变量分离方程，它的通解为fp(x)dxy=ceJ这里c•是任意常数.现在讨论非齐次线性微分方程(7)通解的求法.不难看出，(8)是(7)的特殊情形，可以设想:在(9)屮，将常数c•变易为x的待定函y=c(x)eiP(x)dx微分之，得到P{X)dxdxdx(11)(10)，(11)代入(7)，得dc(x)fP{X)dK,、，、jP(.X)dxfP(x)dxdxe+c(x)p(x)e=c(x)p{x)e+^(x)dc(x)z、—-—=q{x)e，dx积分
10、后得到c(x)=JePq{x)dx+c,这里f是任意常数.将上式代入(10)，得到方程(7)的通解(12)eq(x)dx+c).这种将常数变易为待定函
