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1、,第二章一阶微分方程的初等解法§2.1变量分离方程与变量替换..“T■—————————————————————一.一.——、■‘§2.2线性微分方程与常数变易法’’§2.3.恰当微分方程与积分因子..]一阶微分方程的初等解法：将微分方程的求解问题化为积分问题。1_J_'■I[§2.1变量分离方程与变量替换_
2、J/dNrN例广,(P5人E型)F求解型rN即上ay.____।N(to)No-dt-'dx(1)当y0:是一个解.⑵当y0._y,adx,至亲,三号两边积分得ln
3、yaxc故
4、yCeax一、变量分离方程1.变量分离方程的
5、形式黑f(x)(y).f(x)是x的连续函数，(y)是y的连续函数.2.变量分离方程的解法先分离变量，$f(x)dx.当(y)再两边积分，_d[f(x)dx,(y)G(y)F(x)C1010BLJ•口「例1求解方程23x2y解:先分离变量，dy3x2dx说明：在求解过程中每一步不一定是同解变形再两边积分，1dy3x2dx因此可能增'减解.解得In
6、y
7、x30、或即yex3c13eciex3ln
8、7
9、xIn
10、Cl即ycex3故通解为ycex,其中c为任意常数.(此式含分离变量时丢失的解y=0)/(P31快H)区^2求解方程祟今
11、..-解：先分离变量，ydyxdx再两边积分，ydyxdx解得』y2』x2』c故通解为x2y2c,其中c为任意正常数.例3求解方程第〃；bdx)，x0y0.(P31例2)dxx(auy)解：(1)当y0:是一个解.，…与,z、(2)当y0:先分离变量，(a；"二(cxdx)dx再两边积分，工bydyTdxdx解得alnyUycInxdxk即yaeUyxcedxk(k为任意正常数)综上，通解为yaeUyxcedxk(k0为任意常数)1010三(P42习题1(2))解(1):tw3t(p33"^4)..口例4求解方程需P(x)y，其
12、中P(x)是x的连续函薮…解：(1)当y0:是一个解.(2)当y0:先分离变量，学P(x)dx再两边积分，"ydyP(x)dx解得In
13、y
14、P(x)dx即yceP(x)dx(c为任意非零常数)综上，通解为yceP(x)dx(c为任意常数)沟二是P44M2.2节中的一阶齐次线性微分方程.练习解方程y2dx(x1)dy0，并求满足初值条件x*0，y1的特解10当y0:是一个解.2-当y0:先分离变量，号y-1idx再两边积分，第—dxy2x1解得yIn
15、x1c即y丁品rN为任意常数)综上，通解为yc1nlix(c为任意常数)，另有解
16、y0.解(2):将x0，y1代入上述通解，可确定c1.故特解为y1In
17、11x
18、.10二、可化为变量分离方程的类型1.齐次微分方程dxg（.x）.解法：通过变量替换（令u%化为变量分离方程.沱：方程中不含未知函数及其导数的项称为自由项.自由项=0时：齐次自由项w0时：非齐次3#(P35例6)初6求解方程xdy2^'xyy(x0).解：令uxy,则yux,dyxduudx,故dxyduxdxu原方程彳t为xdx2瓜是变量分离方程.0:即y0,是一个解.0：先分离变量，」dudx2ux再两边积分，4du工dx解得uln(x)InC1
19、2,即yxln(x)C，(当ln(x)C0)grf（P38例7）枷7求解方程dyxy1dxxy3.解：解方程组xy10,可得x1xy30,y2令Xx1则dydY丫y2dxdX,原方程化为-dY-X丫()dXXY再令uX-JIJYuX,dYudXXdu,dYuXduXY1udXuXdX,XY1u则()式化为ux毅自即Xdt1汽u2是变量分离方程17JddxnrtyJ1土dx_xian_x.解：令u_y,则y“““+卜dyux,dyxduudx,故加xJuu^□x原方程化为xduuutanu,即xdu~dx-d~xtanu是变量分离
20、方程.1"当tanu0:即sinu0,是一个解.20当tanu0:先分离变量，cosudu父sinu-x再两边积分，cosudu1sinu,dx解得In
21、sin斗ln
22、xInc即sinucx,（c为非零任意常数）综上，通解为sin_xcx（c为任意常数）■2.形如dyqxb(yc.dxnDh^hb0比q比12/.V/.V（3）a2b2a?xCC2cib2yC2的方程k（常数）原方程即dyka?xkb2y⑹dx马xb2yC2.C1C2C2令ua?xb?y,止匕时.原方程化为浅0:dy&xbiy'dxa2xb2ya2duabdydx
23、a2b2dx,kuCb2-u—C1,是变量分离方程byaib-^v-~j-y，只需令uxa2tfexyxGc不全为0:a1xb1yC,0与%xb2yC20佗表两条相交直线，交点瓦，）.通过坐标平移个x丫y可将交点移到原点.方程彳票丫dxa2人b2丫则（）式聚知丫
