一阶微分方程的初等解法

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1、第二章　一阶微分方程的初等解法教学目的：使学生会判断基本的一阶微分方程的类型；熟练掌握求解一阶微分方程的基本方法；会利用所学知识解决一些实际问题．教学内容：1、变量分离方程与变量变换变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例．2、线性方程和常数变易法线性方程、常数变易法、Bernoulli方程．3、恰当方程和积分因子恰当方程、积分因子法、分项组合法．4、一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程及参数解法．教学重点：变量分离方程、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程及参数解法．教学难点：变量变换，积分因子法，分项组合法，建立微分方程模型。教学过程：§2.1变

2、量分离方程与变量变换要求：熟练掌握变量分离方程的解法本节重点：变量分离方程的解法；难点：变量变换.2.1.1变量分离方程，或分离变量即可求解．例1求解方程.（解为）例2求解方程，.（解为）例3（略）例4求解方程.（解为）2.1.2可化为变量分离方程的类型令，可化为变量分离的方程求解．例5求解方程.（解为，即）例6求解方程，.（解为）.（2）   可化为齐次方程当时，可化为齐次方程求解．当不全为零时，但，即，我们令　，可将方程化为变量分离方程求解．当不全为零时，但，即，令变换其中，是待定常数（即两直线的交点），可将方程化为关于X与Y的齐次方程求解，最后代回原变量即可得原方程的解.例7求解方程（解

3、为）.2.1.3应用举例例8电容器的充电与放电（）.例9探照灯反射镜面的形状（）习题2.11.（1），（3），（5），（7），（9）；2.（1），（3），（5），（7）；3.（1）；4；6；9.§2.2线性微分方程与常数变易法要求：熟练掌握一阶非齐次线性微分方程的解法本节重点：一阶非齐次线性微分方程的解法（即常数变易法）一阶线性微分方程，当的区间上可以写成，（2.2.1）其中在考虑的区间上是的连续函数.若，（2.21）变为，（2.2.2）（2.2.2）称为一阶齐次线性微分方程若，（2.21）称为一阶非齐次线性微分方程.齐线性方程变量分离求解，得．（2.2.3）非齐线性方程用常数变易法求解．为非

4、齐线性方程通解公式。常数变易法实际上是一种变量变换的方法，通过（2.2.4）可将方程（2.2.1）化为变量分离方程.例1求方程的通解.（解为）例2求方程的通解.（解为）形如，（2.2.7）的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程.这里是的连续函数，是常数.利用变量变换可将伯努利（Bernoulli）方程化为线性微分方程.例1求方程的通解.（解为，或及）习题2.21.（1），（3），（5），（7），（9），（11），（13），（15）；2.3.5.（1），（3）；7.（1），（3）.§2.3恰当微分方程与积分因子要求：熟练掌握恰当微分方程的解法，积分因子的求法.本节重点：恰当微分方程的解法，

5、积分因子的求法.难点：积分因子的求法.2.3.1恰当微分方程（全微分方程）如果微分方程（2.3.1）的左端恰是某一函数的全微分，即，（2.3.2）则称（2.3.1）为恰当微分方程（或全微分方程）.容易验证，（2.3.1）的通解是，（2.3.3）其中是任意常数..问题：（1）如何判断（2.3.1）是恰当微分方程？（2）如果（2.3.1）是恰当微分方程，如何求得函数？（3）如果（2.3.1）是恰当微分方程，函数应有什么性质？恰当微分方程的充要条件是（2.3.5）恰当微分方程（2.3.2）的通解是=，（2.3.9）例1求方程的通解.（解为）采用“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再

6、把剩下的项凑成全微分.这要求熟记一些简单二元函数的全微分。例2求解微分方程（解为）2.3.2积分因子法．给出微分方程(2.3.17)如果它不是恰当微分方程，如果能找到一个函数，使得是一个恰当微分方程，即存在函数，使（2.3.18）则称函数是方程(2.3.17)的一个积分因子．这时是（2.3.18）的通解，因而也是（2.3.18）的通解.同一方程可以有不同的积分因子一个方程如果存在积分因子，那么积分因子不只是一个．方程解的形式也不一定相同.函数为（2.3.17）的积分因子的充要条件是，（2.3.19）如果方程满足条件它仅是x的函数，那么易求其积分因子为．同样，方程满足条件它仅是的函数，那么易求其

7、积分因子为例3试用积分因子法解线性微分方程.（解为）作业：习题2.21.（1），（3），2.（1），（3），（5），（7），（9），（11）；3.4．5.7.８.§2.4一阶隐方程与参数表示要求：熟练掌握一阶隐分方程的解法.本节重点：一阶隐方程的解法克莱罗方程的求法.难点：一阶隐方程的求法.　　求解隐式方程