一阶微分方程的初等解法

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1、一阶微分方程的初等解法摘要：本文主要通过一些实例介绍了一阶微分方程的几种初等解法关键词：一阶微分方程;初等解法；变量分离；常数变易法FirstorderdifferentialequationofelementarysolutionsAbstract:ThispapermainlyintroducedthroughsomeexamplesofthefirstorderdifferentialequationseveralelementarysolutionsKeyWords：first-orderdifferentialequation;Elementaryproof;separati

2、on;methodofvariationofconstant前言对于以前的一元二元方程我们都会解，到了大学我们开始接触积分并接触到一些与积分有关的知识，这里我们所要说的常微分方程的初等解法就是把微分方程的求解问题化为积分问题，其求解的表达式由初等函数或者超越函数表示.1变量分离方程与变量变换1.1变量分离方程形如此此类的方程就是变量分离方程，对如这样的方程就可以将方程变形为如此分离出变量，再两边同时积分即可得到如此就可以解出此方程的解，这也是常微分方程的最基本解法，我们后面说的几种解法的最终目的也是化成能够用此种方法解出原方程的解，很简单这里我们就不在举例说明了。1.2可化为变量分离方

3、程的类型首先我们需要了解一下什么事齐次微分方程。形如的方程我们叫做奇次微分方程。注意要区别于我们后面学的齐次线性微分方程.此类的方程我们可以设于是原方程就可以变为变量分离就可以求出次方程的通解.例１求解方程解两边同时除以可以将方程改写为这里我们就很熟悉了，此种形式就是我们刚说的齐次微分方程，设既可以根据刚才所说的方法求出原方程的解，就不在赘述了.接下来我们重点要说的是形如的方程的解法。显然这里有三种情形需要讨论：（常数）.这是的方程就为有通解为任意常数.情形.这里设，则原方程可以变为变量分离方程得到两边积分就可以得到原方程的通解.情形.这里我们设这里的为两直线的交点.从而可以将原方程化

4、为右式分子分母同时除以既是我们前面所说的齐次微分方程了，就不做过多说明了.例2求解方程解这个方程显然就是刚才我们所说的第三种情形联立方程组得到解为：.设带入原方程就可以得到右式分子分母同时除以，令，就可以得到两边积分就可以得到另外可以验证也是该方程的解.所以远方程的通解就为，为任意常数.2线性微分方程与常数变易法2.1线性微分方程形如的方程，其中在考虑的区间上的连续函数.当，上方程就为一阶非齐次线性微分方程，当，上方程就为一阶齐次线性微分方程.当时即上方程为一阶齐次线性微分方程时，我们变量分离该方程很容易就求出该方程的通解为，其中为任意常数.2.1常数变易法然而时我们该如何求解呢？接下

5、来我们就介绍一阶非齐次线性微分方程的一种解法，常数变易法.我们设时方程的解为微分并带入原方程得到即两边积分可得所以原方程的解就为，其中为任意常数.