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1、年第期阜阳师羌范学院学报自然科学版总第期“”一阶常微分方不显的初等解法研究李丰祥林数肴学系“一阶常微分方程的初等解法”教,“”提要本文介绍了学中对含教材处理的几种方法和技巧并给出了关于积分因子的两个定,,。关键词微分方程变量代换积分因子,。一阶常微分方程的初等解法就是把微分方杜程的求解问题化为积分问题能用这种方法求解的。,微分方程称为可积方程类似于不定积分在微积崔分学中的作用初等积分法是常微分方程这门学科最重要的基础训练之一。这一内容大致可分为三注部分‘一,一阶显式方程,十,一‘或,,‘“一阶隐式方程某些
2、可降阶的高阶方程。本文就前两部分内容的教学谈一点粗浅的看李法。抓住纲目以加强学生的记忆效果一阶常微分方程解法较多,又,,,学生理解虽不困雄但记忆欠佳往往学过即忘因此帮助学生分清,,。条理抓住纲目加深记忆是很必要的,。上面提到的三部分内容尤以第一部分最为重氮要这部分内容介绍了几种可积方程的基本类型,是求解一阶常微分方程的基础。但作为基础的勺基础不外乎两种‘一变量分离方程,,一,。一微分方程婴粤拴。少口人。,,其他都需借助于变量代换或积分因子化为这两类夕方程来求解因此在教学中要抓住这两条纲目使学生记住其他类型
3、的方程和这两种方程的关系。。有些教材中绘制有几类一阶显式可积方程之间。,。,。的关系图参见〔〕可帮助学生记忆使用别泊的教材时应把此图介绍给学生曰,在一阶隐式方程中通常讲以下几种类型筋程的解法能就或解,‘出的二,,,‘非完全型微分方程,‘二、,,,,、其中在一般的教材中大都令乍为参数然后两边对或对求导使其变为、。,,或的显式方程再去求解本人认为这祥做苗两个缺点一是参数来得太突然讲不清它为什,因,‘么是参数而学生不易接受往往在求出的表遨式后又把它当作再积分二是需要记忆的东,。,,西太多易忘易混例如是两边对求导
4、把视为的函数是两边对求导把视为的函数、则是引入适当的参数式来求解。卷者在教学中则是统一使用引入参数式的方法来。,,。解上面几类方程这样做学生不仅易于接受而皿便于记忆,,,‘,对一般的一阶隐式方程将其视为空间的曲面设它有参数表达式,,一,,『,,。其中为参数把它代入任一少条积分曲线都必须满足的关系式‘一,中整理可得亚妊十亚一叮,一。刁百刁乙,,,,。二,上式是关于参数的一阶显式方程己若能求得它的通积分为则二,,“,,,一,,,,,。即为原方程的通积分的参数表达式因为从理论上说可以由消去参数而得到的关系。,,
5、。式,。,,,对至这几类方程都可视二为的特殊情形在中取为参数则参数式为一,,‘一,,,在中取为参数参数式为二,,一,‘,,,对于可以为一个参数另外再手找一个适当的参数使其参数式为‘呀甲劝,以为,,同样在中一个参数另找乞一合适参数使其参数式为‘甲中一,,。参数式写出后代入关系式神即可得到关于参数的一阶显式方程这样使用统一的方法来,。,,,处理问题可加强学生的记忆效果当然在具体求解中不一定把参数式全写出来例如解方程,‘,,,,。时令一则一代入中即可得关于的一阶显式方程其它几种同样可如此办理。重视变量代换在解微
6、分方程中的勺灵活运用,,众所周知许多类型的一阶显式匕方程都可经变量代换化为易于求解的类型而一阶隐式方程引入参数式解法实质上也是一种自变鹰量和未知函数的变换。因此,变量代换在解微分方程中起着举足。,,,,轻重的作用这就需要启发学生随七机应变灵活掌握根据方程的特点引进适当的变换将方程化。,为能求解的类型例如对方程一一扩十一一份十一,兰丝兰土鱼右边提出可得红艺卫于乏一,扩十少一两边同乘以并凑微分得习普夕一,,,二作变换尹即可把方程化为大家所熟知的可积类型十一十一,由式即可引在此基础上导学生总结出一类可积方程二三
7、卫、幽燮全丝述垫’、久犷’又如,一,对于方程登右边提出得窦”少奋幽一生「少一〕‘少,。,作变换可把其变为变量分离方程由此又可得出另一类可积方程一’窦知,,,,,类似的例子不胜枚举贵在灵活只要引导学生勤思苦练善于总结自然会熟能生巧达到举一反三之目的。开拓寻求积分因子途径力图简化求解过程,,,,求解微分方程计算量较大如果方法不当往往事倍功半因而必须引导学生尽量简化求解过,。,,程加快解题速度一般地说使用积分因子法比较简便因为当方程乘以适当的积分因子而变为全,,。微分方程后往往靠分项组合凑微分的方法即可求得通解
8、从而省去了大量的计算工作但遗憾的,,,,。是对一般的微分方程积分因子较难寻求所以我们应当尽量开拓寻求积分因子的途径,拌‘拌大家知道是方程的积分因子的充要条件是为一阶偏微分方程、,,翻让、平如淤工万二一以不丁一、又下一下丁产〔几尤只只‘。,’,,的解虽然在一般情况下求的通解比求解更困难但这里所需的仅是的任一特解因,。此它仍提供了求解某些特殊形式的积分因子的途径这里给出有关积分因子的两个定理‘拌一,”的积分因子的充要条件是定理方程
