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1、2006年6月河套大学学报Jun,2006第3卷第2期Vel.3No.2一阶常微分方程初等解法研究刘林(巴彦淖尔市蒙古族中学,内蒙古巴彦淖尔市015000)[摘要]本文在如何引入变换将一阶常微分方程化为变量分离方程方面做了一些探讨并得到了一些结果。[关键词]微分方程;变量代换[中图分类号]0241.8[文献标识码]A[文章编号]15-116/C(2006)02-0013-031.一阶常微分方程初等解法,就是把常微分1du=-f(u)g(x)方程的求解问题转化为积分问题,能用这种方法k求解的微分方程称为可积方程。随着常微分方程du∫=-k∫g(x)dx,推论设f(u)≠-
2、k,f(u)在实际生产、生活中表现出重要的应用性,因此,研究常微分方程的解题方法也变得十分必要。初kkdyk为常数,则形如[f(v(x)+h(y)+k]h′(y)dx等积分法是一阶常微分方程最基本的解法。本文k-11-kkk+v(x)v′(x)h(y)f(v(x)+h(y))=0的一就常见的可化为变量分离方程后采用积分法求解阶方程可化为变量分离方程,其通解为的常微分方程进行了归纳总结,作为对此问题的kk一些探索。∫f(u)di=c-kh(y),其中u=v(x)+k-1dykk11形如h(y)h′(y)+f[h(y)±h(y),c为任意常数dxkk-1dy2v(x)]g(
3、x)±v(x)v′(x)=0的方程例1:解方程=(x+y)dx定理1设f≠0,k为常数,则形如解:令u=x+y,y=u-x,则k-1dykkh(y)h′(y)+f[h(y)±v(x)]±dy2dx-1=udxk-1v(x)v′(x)=0的一阶方程可化为分离变量方1程,其通解为:∫2du=∫dxu+1duk∫=-k∫g(x)dx,其中u=h(y)±arctanu=x+c,c为任意实数f(u)k21形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程v(x)。kk定理2f,g为连续函数,则形如证明:令u=h(y)±v(x),于是方程化为:yf(xf)dx+xg(xy)dy=01
4、k1kdh(y)+f(u)g(x)+dv(x)=0kk的一阶方程可化为变量分离方程,其通解为:1kkg(u)d(h(y)+v(x))+f(u)g(x)=0cx=exp∫du,其中u=xy,C为任kug(u)-uf(u)[收稿日期]2006-05-24[作者简介]刘林(1982-),男,湖南永州人,巴彦淖尔蒙古族中学教师。·13·意常数u2xduudx(1+u)dx=x(-)22uxxx证明:令xy=u,y=,则2xu(1+u)dx=xdu-udxuduudx)=0dxduf(u)dx+xg(u)(-2=xdxx∫x∫u3+2u(uf(u)-ug(u))∫dudx=-g(
5、u)ducx=eu3+2ux221g(u)x=cyxy+2dx=duxug(u)-uf(u)dyy41形如=x∫(2)的方程g(u)dxxCx=exp∫ug(u)-uf(u)dyy定理4f为连续函数,则形如=xf(2)2dydxx31形如x=f(xy)的方程dx的一阶方程可化为变量分离方程。其通解为定理3f为连续函数,则形如ducx=exp∫2dyf(u)-2ux=f(xy)dxy证明令2=u,则的一阶方程可化为变量分离方程,其通解x为:xduf(u)-2u=dxduCx=exp∫f(u)-u1dudx=xf(u)-2u2duudx证明:令xy=u,则x(-2)=f(u
6、)dxxxducx=exp∫f(u)-2uxdu-udx=f(u)dx51形如h′(y)y′=α[1nφ(x)]′h(y)+xdu=(f(u)-u)dxβ-1h(y)du1αφ(x)g(x)f(α的方程=dxφ(x))f(u)-ux定理5设φ≠0,α为非零常数,则形如ducx=exp∫f(u)-uh′(y)y′=α[1nφ(x)]′h(y)+αφβ-1(x)g(x)f(h(y))αφ(x)推论设g≠0,φ≠0,α、β为非零常数,则的一阶方程可化为变量分离方程,其通解为:形如αβg(x)duh(y)f[φ(x)h(y)]α∫dx=∫,(5.1)h′(y)y′=[1nφ(x
7、)]′αβφ(x)f(u)g[φ(x)h(y)]g(y)(2.1)其中u=αφ(x)的一阶方程可化为分离变量方程,其通解为g(y)g(u)du证明令u=φα,则cφ(x)=exp∫,其中u=(x)u[αg(u)+βf(u)]α-1-αφ(x)φ′(x)ααβu′=h(y)+·φ(x)h(y),c为任意常数。2ααφ(x)φ(x)αβ证明:令u=φ(x)h(y)则有φ′(x)φα-1(x)h(y)α-1βαβ-1h(y)+ααg(x)fα=αu′=αφ(x)φ′(x)h(y)+βφ(x)h(y)·φ(x)φ(x)φ(x)αβh(y)f[φ(
