超越方程的一般解法

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1、超越方程的一般解法林文业湛江公路工程大队邮编:52400电话0668-8322239摘要:一般的超越方程经过变换,都可以化为如此形式,例如,,其中为实数,如果函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数,那么超越方程可以求解,并且具有解的一般形式。关键词:一般的超越方程；无穷阶不为零的导数；解的一般形式。一.解法基本定理定理:如果函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数,且,那么级数在上一致收敛。证明:由于函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数,且,因而根据泰勒展开有………………………………………………………………………………………………………………………………

2、………………………………………………………………………………………………………………显然下列级数在上一致收敛………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………因此级数3在上一致收敛。证毕。二.超越方程的一般解法一般的超越方程经过变换,都可以化为如此形式(1)其中为实数,函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数。假设超越方程(1)有如下级数解(2)其中,把(2)代入(1)的左边得对照(1)的右边,可见时,(2)是(1)的解。因此超越方程(1)

3、的一个解为其中,求超越方程(1)的另一个解。设,为超越方程(1)的一个已知解。根据泰勒展开有由于为超越方程(1)的一个已知解,因而超越方程即与超越方程(1)有同解,通过同样的方法可求得超越方程(1)的另一个解为3其中,假设超越方程(1)有个解,通过同样的方法可求得超越方程(1)的另外个解。三.超越方程求解具体例子求解超越方程其中为实数(3)由《常系数齐次线性微分方程两种级数解的内在关系》可知超越方程(3)最多只有两个解。显然函数在的某个邻域内存在无穷阶不为零的连续导数,因此超越方程(3)的一个解为其中设,为超越方程(3)的一个已知解,那么超越方程(3)的另一个解为其中,参

4、考文献1.华北师范大学数学系编《常微分方程》、刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》。2.2000年《湛江师范学报.增刊》。作者简介:林文业,广东省信宜镇隆人,1989年毕业于中山大学力学系,现湛江公路局工作。3