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1、关于高阶线性微分方程的一般解法林文业湛江公路工程大队邮编:52400电话0668-8322239(本文曾于2000年在《湛江师范学报.增刊》发表)摘要:对于一般的高阶线性微分方程,本文建立起其解法基本理论,并在此基础上求出了它的通解,从而肯定了一般高阶线性微分方程在它的定义域上可解,并具有解的一般形式.关键词:高阶线性微分方程;解法定理;一般解法一.简单规定本文所考虑的数都是实数,所考虑的函数都是实函数,m、n、k为自然数.在不改变多重积分函数性质的情况下,作出如下简记:n重n重以下“…”号均表示n重二.预备定理及
2、推论预备定理1:若函数与在区间上连续,且对任意,都有,则预备定理2:若函数在区间上可积,则函数在上也可积,且预备定理3:若函数与在区间上连续,且,,则8推论:若,,则证明:当,或时,不等式显然是成立的.现在考虑,的情形.当时,即(2.1)当时,由预备定理1同理得(2.2)一般地假设当时,有(2.3)由预备定理1同理得(2.4)由开始考虑的情况及(2.1)、(2.2)、(2.3)、(2.4),根据数学归纳法,得对一切n为自然数都有证毕一.解法基本定理定理1:若函数在区间上连续,且在上有连续的n-1阶导数,那么函数项级
3、数(3.1)(3.2)分别在区间、上一致收敛.证明:首先证明(3.1).由于在区间上连续,所以(3.3)又由于在上有连续的n-1阶导数,所以(3.4)8假设且,则(3.5)由预备定理3及(3.3),得由预备定理2,得由(3.5),得由推论,得(3.6)由于在上有连续的n阶导数,因而下面等式成立由预备定理3及(3.3),得由预备定理2,得由(3.6),得由推论,得由于,所以,因而(3.7)一般地假设在上有连续的n阶导数,且8(3.8)那么同理可得(3.9)由(3.6)、(3.7)、(3.8)、(3.9)，根据数学归纳
4、法,得对一切m为自然数都有显然函数项级数为正项级数。由于,所以上式又为正项收敛级数。由〈维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法〉,可知函数项级数()在上一致收敛,当时,在上一致收敛。对于函数项级数()只要在上述证明中,把和互换,并考虑到,就可以逐字逐句地重复上述证明,同样可得级数(3.2)在上一致收敛,当时,在上一致收敛。因而定理1得证。定理2:若函数在区间上连续,、、…、在上线性无关,且在上都有连续的n-1阶导数,那么下列函数……在上线性无关,当时,在上线性无关。8证明:由于、、…、在上线性无关,所以又由于
5、…………………………………………………………………………………………所以因而、、…、在上线性无关。原定理得证。四.一般解法对一般的n阶线性微分方程(4.1)8其中及在上连续。先考虑对应的n阶齐次线性情形。(4.2)把(4.2)写成积分形式并由此建立起积分项迭代格式(4.3)考虑一个级数(4.4)这级数的项有这样的性质:它除第一项外,其余每一项都由前一项代入(4.3)得出,即…………………………………………………………………………………………(4.4)也可写成如下形式(4.5)把(4.5)代入(4.2)的左边,得对照
6、(4.2)的右边,可见时,(4.5)是(4.2)的解。解微分方程,得n个解,,…,由于,,…,的朗斯基行列式8所以、、…、在上线性无关。把、、…、代入(4.5),得……由定理1和定理2,可知上列函数在上一致收敛且线性无关。因而n阶齐次线性微分方程(4.2)的通解为其中为任意常数。现在考虑n阶非齐次的情形。把(4.5)代入(4.1)的左边,得对照(4.1)的右边,可见时,(4.5)是(4.1)的解。解,得代入(4.5),得(4.1)的一个特解因而n阶非齐次线性微分方程(4.1)的通解为8其中为任意常数。参考文献1.华
7、北师范大学数学系编《常微分方程》、刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》。2.《湛江师范学报》。作者简介:林文业,广东省信宜镇隆人,1989年毕业于中山大学力学系,现湛江公路局工作。8
