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《高阶线性常微分方程的解法和应用【文献综述】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、毕业设计文献综述数学与应用数学高阶线性常微分方程的解法和应用常微分方程是17世纪伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门具有重要应用价值而且历史悠久的学科.从诞生之日起很快就显示出它在应用上的重要作用.特别是作为Newton力学的得力助手,在天体力学和其他力学领域显示出巨大的功能.提及微分方程的技术的时候,常常不由使人想起牛顿,在历史上,牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆,从理论上得到了行星运动的规律.1687年,牛顿发表《自然哲学的数学原理》,在该书中,牛顿不仅向全世界揭示了主宰冥冥宇宙的万有引力机制,同时也公布了他为
2、创建自己的动力学体系而发明的流数术与反流数术,即后来所谓的微分法和积分法.微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来后,很快成了研究自然现象的强有力的工具.在17~18世纪,在力学、天文、物理和科学技术中,就已经借助微分方程取得巨大的成就.质点动力学和刚体动力学的问题很容易化为微分方程的求解问题.1864年天文学家ULeVerrier和JAdams先通过微分方程的方法推算然后实际观测预见到了海王星的存在并确定出了海王星在天空中的位置,这些使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.从19世纪下半叶开始,随着微积分学的公理化与严
3、密化,微分方程逐渐从微积分中独立分立出来,形成自己系统而严密的理论体系,发展成为常微分方程和偏微分方程两大现代数学分支.随着科学技术的发展和社会的进步,常微分方程的应用不断扩大和深入.时至今日,可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用.微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解.求解微分方程中的高阶线性常微分方程也是学习微分方程的重点,到目前为止,人们已经对好多高阶微分方程得出了对应求解的一般方法.例如高阶阶微分方程中的常数变易法、比较系数法、算子法和拉普拉斯变换法等.在数学学科内部的许多分支中,常微分也是常有的重
4、要工具之一,也是整个数学课程体系中的重要组成部分,常微分方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援,例如,复变函数、Lie群、组合拓补学等;反过来,常微分方程进一步发展的需要,也推动着其他数学分支的发展.现在,常微分方程在很多科学领域内都有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.应该说,应用常微分方程的理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门课更加完善,因
5、此,对常微分方程的研究不仅具有实际意义,还有理论方面的.对于我们数学专业的学生来说,常微分方程是一门应用性较强的基础课,对训练学生的数学思维、应用意识和分析与解决实际问题能力有着极为重要的作用.本文所讲的微分方程主要是高阶线性常微分方程,因为方程的求解是学习常微分方程的基础,在学习常微分方程理论时,总是对不同类型的方程给出不同的解法.能否有一种普遍的方法能解各种类型的微分方程呢?著名的美国数学史家M.克莱因在所著的《古今数学思想》中写道:“总的说来,这门学科还是各种类型的孤立技巧的汇编”,然而寻求普遍解法的努力从十八世纪就一直没有停止过.但到目
6、前为止,对于一般的高阶高阶微分方程,还没找到普遍的、通用的具体解法,这样,只能根据具体问题进行具体分析.所以本文主要介绍常微分方程中一类重要的方程—高阶线性常微分方程,文章首先简单介绍了高阶微分方程的一般概念:一般地,我们将未知函数及其各阶导数,均为一次的阶微分方程称为阶线性微分方程.它的一般形式是(1)式中及都是区间上的连续函数.如果,则方程(1)变为(2)我们称(2)为阶线性齐次微分方程,简称齐线性方程.而与此相应,称(1)为阶线性非齐次微分方程,简称非齐线性方程,并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐线性方程.若,称(1)或(2)为
7、高阶线性常微分方程.接着简要说明了下这个方程的解式存在且唯一的,为下文研究并且介绍它的各种解法问题,做好理论知识的预备与铺垫.最后文章介绍了下有些高阶线性常微分方程在实际中的应用.所以,总的来说,文章主要讨论了高阶线性常微分方程的相关解法和应用.本文主要从三方面入手,首先给出高阶线性常微分方程的有关概念及解的存在惟一性.在此基础上,探讨了各种不同类型的高阶常微分方程的解法的问题.讨论的主要类型有:某些特殊类型的高阶线性常微分方程、常系数高阶线性常微分方程、变系数高阶线性常微分方程.在解决这些类型的高阶线性常微分方程时,还没找到普遍的、通用的具体
8、解法,这样,文章针对具体问题进行了具体的分析.另外,我还介绍了一些新的解法:运用高阶线性微分方程与一阶微分方程组的关系求解、参数的方法、升阶的方法和计
