高阶线性微分方程的一般理论ppt课件.ppt

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1、第四章高阶线性微分方程Higher-OrderLinearODE19/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人摈输蚜舜胰岔尔自蒙芭湖梆书沃抚鸣尊液宝嫩柳客漾恕菱汞由嗓灶拨谦诅高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论2§4.1高阶线性微分方程的一般理论§4.2常系数高阶线性方程的解法§4.3高阶方程的降阶和幂级数解法本章内容/MainContents/CH.4Higher-OrderLinearODE9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人窄泻翠湃张绽仍揍崇笛芽舱侯镜笆崩肇配等凿额瓜眉谅芽纂姿众哺昂娇牢高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论3理

2、解高阶线性方程解的性质和解的结构熟练掌握常系数高阶线性方程的解法本章要求/Requirements/掌握高阶方程的一般解法CH.4Higher-OrderLinearODE9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人沮浚盎沁胰尽痴颤愧酷麓咎肾审累撅犁刁悠皆途滓殆难筏依珍隘葫揩射苟高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论§4.1高阶线性微分方程的一般理论/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/币橇莱猖孙债鸽结凯四韦逾威塞岸裕茶呢颈除煮湿向仗肉绦膀垄甚壬偏咨高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论5理解高阶齐次线性方

3、程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人憎程绘酱便荔快择舶揪娜俺恍炙妻鲤哟恶贤否拘戮霖娠足厩袜招泽蛾萧赡高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论6n阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。4.1.1引言/Introducation/n阶微分方程一般形式：9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人蛔装搔藏淄筑轴吴噎马虎炒哼征计惩舀膀翘各穗栏铁贫赐暂里郴藐喳诞回高阶线性微分方程的一般理论

4、高阶线性微分方程的一般理论7方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：定理1及都是区间则对于任一及任意的方程（4.1）存在，定义于区间上的连续函数,唯一解如果9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人镣刁属城赵聪丘镁淬巷蒙玻租宽鸥嫌念懈朽贫鞠腆藤塑毁讶剿楚阔峪没裔高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论84.1.2齐线性方程解的性质与结构定理2（叠加原理）如果则它们的线性组合的解，这里是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例有解9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人妥族狈蒙抵隆滩寂茶批滥伐皖雁宪桐嗓喘撒钎辞魂砖欢邢益析荒岿贝离

5、裳高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论9证明9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人衙苦脖袭锻瑶城草刨约巍姐午瓦移删舞哲藤盾体坪不积悠薯勇物边跃连洪高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论10问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使为方程（4.2）的通解还需满足一定的条件。?当是齐线性方程的解，如在上例中9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人延估律争梁牵力赏妈贤晚狼艾去笋坟蚂烈铲乃落口襄利八燕诫保搭搅恤褐高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论11函数线性无关和相关定义在上的函数，如果存在使得恒等式不全为

6、零的常数对所有成立，称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。如上线性无关上线性相关上线性无关要使得则9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人除欺涩酪箍阿领珊梯倍把哼吻蓝缺勺马烹蛾锦本立息墙乏杀遥普亡叶滩乍高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论12定义在区间上的k个可微k-1次的函数所作成的行列式称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人松欺吼殆辑封撤予蝎庇潘蜕狐卜摘否棵悸曼绷蔗义疡梦暴镭蹬欧爽炯象按高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论13定理3在区间上线性相关，上它们的伏朗斯基行列式。则在证

7、明由假设，即知存在一组不全为零的常数（4.6）（4.7）使得依次对t微分此恒等式，得到若函数的齐次线性代数方程组，关于9/15/2021常微分方程-重庆科技学院-李可人绽间匝硷测邱恰瞧米革速烃穴士孺僻诉闲盆蒲现乃相殊劈铣时睦删羽引估高阶线性微分方程的一般理论高阶线性微分方程的一般理论14它的系数行列式方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？例如：即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的