高阶线性微分方程的ppt课件.ppt

《高阶线性微分方程的ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4.1高阶线性微分方程的一般理论/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/1理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/2n阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。4.1.1引言/Introducation/n阶微分方程一般形式：3方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：定理1及都是区间则对于任一及任意的方程（4.1）存在，定义于区间上的连续函数,唯一解如果44.1.2齐线性方程解的性质

2、与结构定理2（叠加原理）如果则它们的线性组合的解，这里是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例有解5证明6问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使为方程（4.2）的通解还需满足一定的条件。?当是齐线性方程的解，如在上例中7函数线性无关和相关定义在上的函数，如果存在使得恒等式不全为零的常数对所有成立，称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。如上线性无关上线性相关上线性无关要使得则8定义在区间上的k个可微k-1次的函数所作成的行列式称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式9定理3在区间上线性相关，上它们的伏朗斯基行列式。则在证明由假设，即知存在一组不全

3、为零的常数（4.6）（4.7）使得依次对t微分此恒等式，得到若函数的齐次线性代数方程组，关于10它的系数行列式方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？例如：即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。不一定11故是线性无关的。12如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，则任何点上都不等于零，即在这个区间的定理4设有某个，使得考虑关于的齐次线性代数方程组证明反证法（4.9）13其系数行列式，故（4.9）有非零解构造函数根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件由解的唯一性知，即因为不全为0，与的假设矛盾。（4.10）另也是方程

4、(4.2)的解，线性无关证毕也满足初始条件（4.10）14定理5n阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，线性相关定理4定理3重要结论方程(4.2)的解在区间上线性无关的充分必要条件是且任意n+1个解都线性相关。证明在上连续，取则满足条件存在唯一。15线性无关。即齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。任取方程(4.2)的n+1个解，16任意n+1个解都线性相关。17定理6（通解结构）其中是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。

5、如果n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。作业：184.1.3非齐线性方程与常数变易法性质1如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，则性质2方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。19是任意常数，且通解（4.14）包括定理7为方程（4.2）的基本解组，是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为其中（4.14）设方程（4.1）的所有解。证明1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立的任意常数，是通解。2)是方程（4.1）的任一个解，则是方程（4.2）的解证毕20设为方程（4.2）的基本解组，为（4.2）的通解。（4.

6、15）（4.16）非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键常数变易法为（4.1）的解。21令22（4.16）代入方程（4.1）23方程组有唯一的解，设为（4.16）24特解通解非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构:通解与自身的一个特解之和。25例1求方程基本解组为，的通解，已知它对应齐线性方程的解解得原方程的通解为令26例2求方程于域解对应的齐线性方程为上的所有解。得易见有基本解组这里A、B为任意常数。设为方程的解故得原方程的通解（为任意常数)27作业：P.112，第4，6，7，8，9题练习题，并求方程的基本解组为1验证的通解。2求方程方程的基本解组为，的通解，已知它对

7、应齐线性思考题常数变易法中待定函数的条件如何选择？28