高阶线性微分方程复习.ppt

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1、二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征根通解形式n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特征根通解中的对应项例1.求解方程y"–2y'–3y=0解：特征方程r2–2r–3=0,得特征根r1=–1,r2=3(r+1)(r–3)=0解：特征方程得r1=r2=5例2.例3.解：得例4.求解方程y(4)+5y'''+9y''+7y'+2y=0解：特征方程r4+5r3+9r2+7r+2=0可求得r1=2,r2=r3=r4=1则y1=e2x,y2=ex,y3=xex,y4=x2ex定理1当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：其中：例1.

2、解：α=2，P1(x)=4x+5特征方程：r2－3r＋2＝0得r1=2,r2=1所以设y*=xe2x(Ax+B)y*=2Ax2e2x+2(A+B)xe2x+Be2xy*=4Ax2e2x+4(2A+B)xe2x+2(A+2B)e2x代入方程化简得2Ax+(2A+B)=4x+5比较得2A=4,2A+B=5例2.解：α=0,P2(x)=2x2－3特征方程r2+1=0,得r1,2=i所以设y*=Ax2+Bx+C代入方程得Ax2+Bx+(2A+C)=2x23比较得A=2,B=0,2A+C=3有A=2,B=0,C=7例3.α=1,P0(

3、x)=1解：特征方程r2－2r＋1＝0,r1,2＝1故设y*=x2Aex求得求方程y－2y＋y=ex的一个特解.其中k＝例6.解：特征方程r2+4=0,得r1,2=2i求y+4y=cos2x的一个特解例7.解：特征方程r2+1=0,得r1,2=i求y+y=exsinx的一个特解.例8.解：特征方程r2–5r＋6＝0得r1=2,r2=3(2)再求y*：有(1)(2)(1)先求y：求方程(1)的y1*:设y1*=Axe2x代入方程(1)得A＝–2(1)r1=2,r2=3r2–5r＋6＝0,求方程(2)的y2*:代入方程(2

4、)得(2)r2–5r＋6＝0,r1=2,r2=3