高阶常系数线性微分方程.ppt

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1、10-5高阶常系数线性微分方程1一阶方程可降阶的高阶方程逐次积分求解关键:辨别方程类型,掌握相应的求解步骤复习21.二阶齐次线性方程的标准形式2.二阶非齐次线性方程的标准形式通解为：通解为：其中线性无关，即常数，即★二阶线性微分方程的标准形式及解的性质：3高阶常系数线性微分方程第五节第十章二、高阶常系数非齐次线性微分方程一、高阶常系数非齐次线性微分方程410-5高阶常系数线性微分方程下面讨论二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法.定义(p,q为常数)51.二阶常系数齐次线性方程的标准形式2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式(p,q为常数)(p,q

2、为常数)通解为：通解为：其中线性无关，即常数，即一、二阶常系数线性微分方程的标准形式及解的性质：6二、二阶常系数齐次线性方程的解法将其代入上方程,得故有特征方程特征根(p,q为常数)则是方程的解.设是方程的解设7两个线性无关的特解：得齐次方程的通解为Ⅰ有两个不相等的实根设特征根为如：特征方程为且常数则通解为是方程的解设8Ⅱ有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为如特征方程为将代入原方程并化简得知取则则通解为设另一特解为：是方程的解设9Ⅲ有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为设特征根为如特征方程为则通解为10定义由常系数齐次线性方程的特

3、征方程的根确定其总之通解的表达式特征根情况实根实根复根通解的方法称为特征方程法.11解特征方程为解得故所求通解为解特征方程为解得故所求通解为例1求方程的通解.例2求方程的通解.特征方程为故所求通解为例3求的通解.解12解得故所求特解为解特征方程为解得故所求通解为由得：13例5由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为练习：为某二阶常系数齐次方程的通解,则该方程为解:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为解14特征方程:推广:特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根r给出一项:一对单虚数根给出两项:k重实根r给出k项:一对k

4、重虚数根给出2k项:15特征根为故所求通解为解特征方程为注意：n次代数方程有n个根,且每一项各一个任意常数对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都例6求方程的通解.16四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;通解的表达式特征根情况实根实根复根（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化17思考与练习答案:通解为通解为通解为18思考题：为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为

5、即故所求方程为其通解为19