高阶常系数线性微分方程、欧拉方程(VI)

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第三十讲一元微积分的应用(六)——微积分在物理中的应用第七章常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法：了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及

2、它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法.第五节二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征根一、二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，即特征方程二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为由求根公式由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为3)特征方程有一对共轭复根：是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位i。欧拉公式：由线性方程解

3、的性质：均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征根通解形式例解例解例解故所求特解为例解此时弹簧仅受到弹性恢复力f的作用。求反映此弹突然放手，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为k）。例解此时弹簧仅受到弹性恢复力f的作用。求反映此弹突然放手，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为k）。取x轴如如图所示。由力学的虎克定理，有（恢复力与运动方向相反）由牛顿第二定律，得它能正确描述我们的问题吗？记拉长后，突然放手的时刻为我们要找的规律是下列初值问题的解：从而，所求运动规律为简谐振动二、n阶常系数齐

4、线性微分方程形如的方程，称为n阶常系数齐线性微分方程，n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特征根通解中的对应项例解例解在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程试求此方程的通解。三、二阶常系数非齐线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，它对应的齐方程为我们只讨论函数f(x)的几种简单情形下，(2)的特解。常系数非齐线性微分方程算子解法参考书：《常微分方程讲义》王柔怀伍卓群编人民教育出版社方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为单根二重根一对共轭复根你认为方程应该有什么样子的特解？假设方程有下列形式的特解：则代入方程(2)，得即方程(3)的系数与方程(2)的特

5、征根有关。由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:由多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:由多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:定理1当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：其中：例解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为例解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得请同学们自己算上式即故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为例解对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为你有什么想法

6、没有？欧拉公式：性质4的一个特解。例解代入上述方程，得从而，原方程有一特解为例解代入上述方程，得比较系数，得从而，原方程有一特解为故例解由上面两个例题立即可得例解对应的齐次方程的通解为将它代入此方程中，得从而，原方程有一特解为故原方程的通解为我想，你一定会做这种推广工作。四、欧拉方程形如的方程，称为n阶欧拉方程，其中关于变量t的常系数线性微分方程。引入算子记号：由数学归纳法可以证明：例解这是三阶欧拉方程，作代数运算后，得即这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且方程(1)对应的齐方程的通解为为方程(1)特解形式，代入方程(1)中，得从而故原欧拉方程的通解为