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1、第七章高阶线性微分方程一.二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动目录上页下页返回结束阻力据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动目录上页下页返回结束n
2、阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程.具有如下形式的方程:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动目录上页下页返回结束二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)机动目录上页下页返回结束说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束是定义在区间I上的n个函数,使得则称这
3、n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数机动目录上页下页返回结束线性无关判别法：在区间I上线性无关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数线性无关例如,方程有特解且常数,故方程的通解为是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.
4、结论：三、线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,X(t)是相应齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.这是因为：代入方程,得复习目录上页下页返回结束例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为机动目录上页下页返回结束分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程解的叠加原理)上述均可推广到n阶线性非齐次方程.机动目录上页下页返回结束常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)机动目录上页下页返回结
5、束例.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三机动目录上页下页返回结束四.二阶常系数线性齐次微分方程:代入得称为微分方程的特征方程,令方程的解为其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束例.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为1.当时,特征方程有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为则微分2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(t)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=t,
6、则得因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束例.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束例.解:特征方程:特征根为则方程通解:机动目录上页下页返回结束二阶常系数齐次线性微分方程:称为微分方程的特征方程,1.当特征方程有两个相异实根方程的通解为其根称为特征根.2.当特征方程有两个相等实根方程的通解为3.当特征方
7、程有一对共轭复根方程的通解为若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根λ,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:机动目录上页下页返回结束例.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解推广目录上页下页返回结束例.解:特征方程:特征根为则方程通解:机动目录上页下页返回结束例.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为五.二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据F(t)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数
8、.—待定系数法机动目录上页下页返回结束1、μ为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若μ不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Z(x)为m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束(2)若μ是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若μ是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为推广：对n阶方程,即即当μ是特征方程的k重根
