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1、第四节高阶线性微分方程二、常系数齐次线性微分方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程一、高阶线性微分方程1一、高阶线性微分方程1、二阶线性微分方程2、线性微分方程的解的结构2通解为对应齐次方程通解Y非齐次方程特解一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用.注一阶线性方程复习3二阶二阶线性齐次微分方程.二阶线性非齐次微分方程.形如1、二阶线性微分方程线性微分方程4n阶线性微分方程的一般形式为n阶线性齐次微分方程.n阶线性非齐次微分方程.5定理证叠加原理一定是通解(1)解,(1)二阶齐次方程解的结构
2、齐次2、线性微分方程的解的结构6线性无关定义线性相关.否则称线性无关.如线性相关恒等式成立如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内那末称这n个函数在区间I内为定义在区间I内的n个函数.7特别地线性无关.若在I上有如定理通解为了求只要求它的两个线性无关的特解.线性无关的特解,那末也是(1)的齐次线性方程的通解,通解.8推论是n阶齐次线性方程的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为其中为任意常数.可推广到n阶齐次线性方程.9(2)二阶非齐次线性方程的解的结构定理的一个特解,为了求非齐次线性方程的一个特解和对应齐次
3、线性方程只要求得:的通解.非齐次(2)非齐次线性方程的通解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.是二阶非齐次线性微分方程10已知的通解.又容易验证是所给方程的一个特解.是非齐次方程的通解.如是二阶非齐次线性方程是对应齐次方程定理如果是对应齐次方程(1)的解.是非齐次方程(2)的两个解，11解的叠加原理定理之和,的特解,那么就是原方程的特解.定理也可推广到n阶非齐次线性方程.12求解解的通解是再考虑两个方程例13常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程
4、的解,是任意提示是对应齐次方程的解,二者线性无关.(解的叠加原理可证)(89考研)例14已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三练习15定理的解(复值解)，其中是实值函数，分别是方程的解.16解二阶线性非齐次微分方程解二阶线性齐次微分方程只要求两个线性无关的解则方程的通解为先求（1）的两个线性无关的解则方程的通解为再求（2）的一个特解y*17基本思路求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化二、常系数齐次线性方程解
5、法18n阶方程二阶常系数非齐次线性方程线性微分方程常系数二阶常系数齐次线性形如1.定义19将其代入方程,故有特征根二阶设解得特征方程常系数齐次线性方程其中r为待定常数.2.二阶常系数线性齐次微分方程解法---特征方程法20两个特解的通解的不同形式.(1)有两个不相等的实根特征根r的不同情况决定了方程特征方程常数线性无关的得齐次方程的通解为21(2)有两个相等的实根一特解为化简得设取则知得齐次方程的通解为22(3)有一对共轭复根这时原方程有两个复数解为了得到实数形式的线性无关解,利用解的叠加原理得齐次方程的通解为23
6、综上，特征方程由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程的根方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根24(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解(1)写出相应的特征方程(2)求出特征根二阶常系数齐次线性方程特征根的情况通解的表达式实根实根复根求通解的步骤:bair±=21，25的通解.特征方程特征根因此原方程的通解为解例26例解初值问题解特征方程特征根所以方程的通解为(2重根)特解xexCC4321)(+=y27解特征方程故所求通解为例特征根28(1)若特征方程含k重实
7、根r,特征方程3.n阶常系数线性齐次微分方程可得原方程k个线性无关解则其通解中必含对应项29(2)若特征方程含k重复根特征方程可得原方程2k个线性无关解则其通解中必含对应项30注意一个根都对应着通解中的一项,n次代数方程有n个根,而特征方程的每且每一项各有一个任意常数.31例求方程解的通解.特征方程故所求通解为特征根即和可得原方程4个线性无关解即32特征根故所求通解解特征方程例对应的特解33为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.根据给定的特解知特征方程有根因此特征方程为即故所求方程为其通解为例解34内容小
8、结特征方程实根特征根通解1.二阶常系数齐次线性方程解法35特征方程特征方程的根通解中的对应项2.n阶常系数齐次线性方程解法36则它必定有解（）选择题3738.394.在下列微分方程中，以为通解的是（）40三、常系数非齐次线性微分方程解二阶常系数线性微分方程先求（1）的两个线性无关的解则方程的通解为再求（2）的一个特解y*41二阶常系数非齐次线性方程常见类型(
