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1、§10.4高阶线性微分方程二.常系数齐次线性微分方程的解法一.线性微分方程通解的结构三.常系数非齐次线性微分方程的解法四.欧拉方程机动目录上页下页返回结束教学目标1.掌握二阶常系数齐次微分方程的求解方法.2.了解n阶常系数齐次微分方程的求解方法.3.掌握二阶常系数非齐次微分方程的求解方法.4.了解欧拉方程的求解方法.在微分方程中,人们通常把二阶及二阶以上的微分方程,其中为给定的函数,为x的已统称为高阶微分方程.知函数.特别的,为n阶齐次线性方程,否则,称为n阶非齐次线性方程.本书以二阶线性微分方程为例讨论高阶线性微分方程的求解问题.n阶微分方程的一般形式为：时,称
2、方程当机动目录上页下页返回结束一.线性微分方程的通的结构二阶线性微分方程的一般形式为(10.4.1)若，则称方程(10.4.1)为二阶非齐次线性微分方程.若,则称方程(10.4.2)为方程(10.4.1)对应的二阶齐次线性微分方程.其中,,是x的已知连续函数.为了研究二阶线性微分方程解的结构,我们引入函数相关性的概念.机动目录上页下页返回结束个函数,(10.4.3)在区间I上恒成立,线性相关;否则,称线性无关.定义1设是定义在区间I上的n例如，函数在整个数轴上是线性相关的,因为又如,函数在任何区间(a,b)内是线性相关在区间I上则称机动目录上页下页返回结束特别地,
3、对于两个函数,如果常数,则是线性无关的,否则是线性相关的.例如,与在任何区间上都是线性无关的;因为当时,要使则必须全为零.与是线性相关的.而机动目录上页下页返回结束也是方程(10.4.2)的解,其中,为任意常数.个解,则注虽然解中含有两个任意但它不一定是方程(10.4.2)的通解.例如,设是方程(10.4.2)的一个解那么也是方程(10.4.2)的解,却不是方程(10.4.2)的通解,因为只能看成一个任意常数.定理1设函数是齐次线性方程(10.4.2)的两但机动目录上页下页返回结束定理2两个线性无关的解,则(10.4.4)为方程(10.4.2)的通解,其中,为任意
4、常数.构定理.根据定理10.3.1,我们可得齐次线性方程(10.3.2)的通解结是齐次线性方程(10.4.2)的设函数值得说明的是一般微分方程的通解不一定包含它的全部解,而线性微分方程无论是齐次的,还是非齐次的,它的通解却包含了它的全部解.机动目录上页下页返回结束定理2指出了二阶线性微分方程通解的结构.为了求它的通的通解,只需要求出它的两个线性无关的特解,就可以由式(10.4.4)构造出通解,进而得到它的全部解.这是一个二阶齐次线性方程,与是所给方程的两个线性无关的解.因为所以该方程的通解为(为任意常数)常数求微分方程的通解.例1解机动目录上页下页返回结束推论如果
5、是n阶齐次线性方程的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为其中为任意常数.下面讨论二阶非齐次线性方程(10.4.1)的通解结构.我们把方程(10.4.2)称为与非齐次线性方程(10.4.1)对应的齐次方程.定理2不难推广到n阶齐次线性方程机动目录上页下页返回结束在§10.2中,我们看到:一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分构成：一部分是它相应的齐次方程的通解;另一部分是它的一个特解.实际上,不仅一阶线性微分方程的通解这样的结构,二阶乃至更高阶的非齐次线性微分方程的通解也有同样的结构.定理3(非齐次线性方程通解结构)设是二阶非齐次线性微分方程(10.3.1)的一个特
6、解,Y是对应齐次方程(10.4.1)(10.4.5)为非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解.的通解,则机动目录上页下页返回结束把(10.4.5)式代入方程(10.4.1)的左端,根据Y(x)是对应齐次方程(10.3.2)的通解,有所以为方程(10.4.1)的解.另一方面,我们注意到的结构中包含了两个独立的任意常数,所以式(10.4.5)为二阶非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解.证机动目录上页下页返回结束定理4(叠加原理)（10.4.6）如果为非齐次线性微分方程.的一个特解,例如,方程是二阶非齐次线性微分方程.由例1知是对应齐次方程的通解;又容易验证是所给
7、方程的一个特解因此,设有二阶非齐次线性微分方程就是方程(10.4.6)的一个特解.那么机动目录上页下页返回结束由假设知将代入方程(10.4.6)的左端,有故为方程(10.4.6)的一个特解.证机动目录上页下页返回结束方程(10.4.7)的两个线性无关的解,就可以得到其通解.二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为二.二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程的通解方程(10.4.1)对应的齐次线性微分方程是(10.4.7)由齐次线性微分方程通解结构定理10.4.2可知,只要求出机动目录上页下页返回结束由于方程(10.4.7)的左端是关于的线性关系式,且系
8、数为常数.
