高阶线性微分方程的一般理论

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1、第四章高阶线性微分方程Higher-OrderLinearODE12021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人2§4.1高阶线性微分方程的一般理论§4.2常系数高阶线性方程的解法§4.3高阶方程的降阶和幂级数解法本章内容/MainContents/CH.4Higher-OrderLinearODE2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人3理解高阶线性方程解的性质和解的结构熟练掌握常系数高阶线性方程的解法本章要求/Requirements/掌握高阶方程的一般解法CH.4Higher-OrderLinear

2、ODE2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人§4.1高阶线性微分方程的一般理论/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/5理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人6n阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。4.1.1引言/Introducation/n阶微分方程一般形式：20

3、21/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人7方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：定理1及都是区间则对于任一及任意的方程（4.1）存在，定义于区间上的连续函数,唯一解如果2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人84.1.2齐线性方程解的性质与结构定理2（叠加原理）如果则它们的线性组合的解，这里是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例有解2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人9证明2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人10问题：时，若能否成为方程（4.2）的

4、通解？不一定不包含解要使为方程（4.2）的通解还需满足一定的条件。?当是齐线性方程的解，如在上例中2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人11函数线性无关和相关定义在上的函数，如果存在使得恒等式不全为零的常数对所有成立，称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。如上线性无关上线性相关上线性无关要使得则2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人12定义在区间上的k个可微k-1次的函数所作成的行列式称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人13定理3在区间上

5、线性相关，上它们的伏朗斯基行列式。则在证明由假设，即知存在一组不全为零的常数（4.6）（4.7）使得依次对t微分此恒等式，得到若函数的齐次线性代数方程组，关于2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人14它的系数行列式方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？例如：即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。不一定2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人15故是线性无关的。2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人16如果方程(4.2)的解在区

6、间上线性无关，则任何点上都不等于零，即在这个区间的定理4设有某个，使得考虑关于的齐次线性代数方程组证明反证法（4.9）2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人17其系数行列式，故（4.9）有非零解构造函数根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件由解的唯一性知，即因为不全为0，与的假设矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，线性无关证毕也满足初始条件（4.10）2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人18定理5n阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，线性相关定理4定理3重要结论方程(

7、4.2)的解在区间上线性无关的充分必要条件是且任意n+1个解都线性相关。证明在上连续，取则满足条件存在唯一。2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人19线性无关。即齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。任取方程(4.2)的n+1个解，2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人20任意n+1个解都线性相关。2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人21定理6（通解结构）其中是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2

8、）的所有解。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。如果n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。2021/9/16常微分方程-重庆科技学院-李可人224.1.3非齐线性方程与常数变易法性质1如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，则性质2方程（4.1）的任意两个解之