直线方程问题的解法探究

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时间:2018-11-14

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1、直线方程问题的解法探究  众所周知,研究数学问题可以从多种角度去研究,也就是所谓的一题多解、一题多变、多题一解.其实解决数学问题时可以用一种“格式化”的解法来解,同时也可以用多种方法来解决,这就是所谓的解法多样化.日前,我在教学中碰到了这样的问题:(1)求过点(-3,4)且在坐标轴上的截距相等的直线l的方程;(2)求过点(-3,4)且在坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程.这个问题是用“格式化”的解法来解,还是采用多种解法来解呢?下面我做一下分析.  解:(1)方法一:①设直线的方程为y=kx,k∈R,将点(-3,4)代入直线方程,可得k=

2、-43,所以直线方程为y==-43x;②因为截距相等,而且此时在x轴、y轴上的截距不能为零,所以可设直线l的方程为xa+ya=1,将点(-3,4)代入直线方程,可得a=1,所以直线方程为x1+y1=1,即x+y-1=0.  综上可得,所求的直线方程为:y=-43x或x+y-1=0.  采用截距式方法求解时应要注意在x轴、y轴上的截距是否有一个为零,有一个为零时截距式的直线方程形式就不可以用.而此题的直线能否过直角坐标系的原点,大部分学生不太清楚,很容易在此失分.这就是这种方法的不足之处.3  方法二:因为过点(-3,4)的直线在坐标轴上有截距,

3、所以直线的斜率不可能不存在,又因为在x轴、y轴上都有截距,所以直线的斜率不可能为0.设直线的方程为y=kx+b(k≠0),∵直线过点(-3,4),∴将点(-3,4)代入直线方程得4=-3k+b①  令x=0,则y=b;令y=0,则x=-bk,∵在坐标轴上的截距相等,∴b=-bk②  由①②解得:b=0时,k=-43;k=-1时,b=1.  ∴所求的直线方程为:y=-43x或x+y-1=0.  在解②式的过程中,可能会有很多学生把b=0这一解弄丢,所以在解方程时,要注意当两边同时约掉一个数的时候要看它是否能为零,这是这种方法易错的地方.  点评:

4、第一种方法需要分类讨论.分类讨论思想是高考必考的思想之一,但很多学生难以想到用分类讨论的思想,总会在用截距式方法求直线方程时想不到它的截距为零的情形,特别容易发生错误;而第二种方法――斜截式,依题意需要知道截距,就是求在x轴、y轴上的截距,在求截距的过程中就能够清楚知道斜率为什么不能为零(因为它做了分母).但这种方法比较遗憾的是方程很难解,在解方程时容易发生错误.我认为这两种方法各有千秋.如果学生解方程的能力比较强的话,建议用第二种方法,这样少解的几率就很小了;反之,可以选择第一种方法,至少能得些分数.  (2)方法一(需要考虑三种情况):  

5、①经过直角坐标系的原点,根据(1)可得直线方程为y=-43x.  ②截距相等且不为零,根据(1)可得直线方程为x+y-1=0.  ③3截距互为相反数且都不为零,所以可以设直线的方程为xa+y-a=1,将点(-3,4)代入直线方程,可得y-x-7=0.  综上可知,直线方程为y=-43x或x+y-1=0或x-y+7=0.  方法二:设直线方程为y=kx+b(k≠0),根据题意可知

6、b

7、=

8、-bk

9、③  由③得,

10、b

11、=0或

12、k

13、=1,结合①可得b=0,k=-43;k=1,b=7;k=-1,b=1.  综上可知,直线方程为y=-43x或x+y-1=

14、0或x-y+7=0.  点评:第一种方法,学生存在的问题是经过坐标原点的会少,截距互为相反数也会少,如何去设截距互为相反数的方程形式是个难点.而第二种方法,还是方程的解的问题,变量已经设出来了,就差解方程了.  综上可知,在解决直线方程问题时,我们应根据题意来设直线方程的形式,并选择合适的方法进行求解,这样会减少计算的量,减轻学生的负担.所以我们应教育学生在解题的过程中将多样化解法和“格式化”解法相结合,从而更好地解决遇到的数学问题.  (责任编辑黄春香)3

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