函数切线问题的解法探究

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1、函数切线问题的解法探究■中学数学论文函数切线问题的解法探究江苏省如皋市第一中学许琴函数图象的切线问题使许多同学感到抽象，觉得不易作出，也不易求解，觉得深不可测,缺乏深刻的认识。可是这类问题又是考查的重点难点之_,在各类考试中频繁出现，作为学生必须理清眉目z找到思维的脚手架,才能应付自如，实现切线问题的〃大瘦身〃。函数y=f(x)的切线求法：公式:设切点为(xOzyO)z则切线方程为y-yO二f(x0)(x-xO)知识点：切点既在切线上也在曲线上，切线的斜率等于切点的横坐标的导数值。—、单个函数的切线问题例］:已知函数f(x)=x3-3x:(1)求曲线y二f(x)在

2、点x=2处的切线方程；(2)若过点A(lzm)(m^-2)可作曲线y二f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。解:(l)f(x)=3x2-3,ff(2)=9,f(2)=2,则曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为:y-2=9(x-2)z即y=9x-16(2)过点A(1,m)向曲线y二f(x)作切线z设切点为(xO,yO)32则yo=%-3.®xo)=3x0-3所以切线方程为y-(x0-3x0)=(3x~-3)(x-x0)将A(1,m)代入上式,整理得3；-玩十加+3=0因为过点A(1,ni)(n?#2)可作曲线x)的三条切线，所以方程2x：-3£+m+3=0有三个

3、不同的实数根，即g(x)=2x3-3x2+m+3,g‘(x)=6x2-6x=6x(x-1)另列表如下：X(-8,0)0(O1)1(1,+oc)+0—()+递増极大递减极小递增当x=0时，g(x)有极大值m+3;当x=l时,g(x)有极小值m+2由题意得,g(0)>0且g(1)<0/解得

4、解题的新突破。二、两个函数的公切线且切点同一例2:设函数f(x)二alnx+bx(a>0),g(x)=x2,若f(l)二g(1),f,(l)=g,(l)/是否存在实数k和m,使得f(x)kx+m?若存在/求岀k和m的值；若不存在z说明理由。解：由f(l)=g(l),f(l)=gf(x),得a=b=l,则f(x)二lnx+x。因f(x)和g(x)有一个公共点(1,1),而函数g(x)=x2在点(1,1)的切线方程y=2x・l,下面验证f(x)<2x-l,g(x)>2x-l都成立;设h(x)=lnx+x-(2x-l),h*(x)=l/x-l=(1

5、-x)/x易知其在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，所以h(X)在x“时取得最大值h(1)二0,则lnx+x<2x-l恒成立；另外x2-2x+l>0z得x2>2x-l,知g(x)>2x-l恒成立，故存在这样的k和m,且k=2,m=-lo说明：该题是我们不生疏的”隔离直线〃问题,恰巧的是此直线也是两曲线的公切线，且切点同_。采取的方法是先找出公共点，根据公式求出切线方程，然后验证该切线为〃隔离直线〃，即先求再证。可是该题在全市上学期期末考试中得分率很低，学生连切线都没求出，更不谈证明了。考后问学生思维受阻在何处,—者说没发现公共点，另一者说不知道是切线。种种现

6、象说明,学生对于两函数的公切线毫无知识储备，其实本质跟一函数的切线求法异曲同工：找出切点，代入切线方程的公式’借助函数与方程的方法解题。三、两个函数的公切线且切点不同例3:已知函数f(x)二ex,g(x)二Inx是否存在直线I,使得I同时是函数f(x)rg(x)的切线?说明理由。解：假设存在直线I同时是函数f(x)zg(x)的切线，设I与f(x),g(x)分别相切于点M(mzem)ZN(nJnn),贝［JI:y-em=em(x-m)或y-lnn=l/n(x-n)zem=l/n,em(1-m)=lnn-l要说明I是否存在z只需说明上述方程组是否有解。由em=l/n得

7、n二e・m,代入em(1-m)二，彳导em(1-m)=-m-l即em(1-m)+m+l二0,令h(m)=em(1-m)+m+l因为h(1)=2>0zh(2)=-e2+3<0,所以方程em(1-m)+m+l=O有解，则方程组有解，故存在直线同时是函数f(X)和g(x)的切线。说明：这类问题对于众多考生来说，可算是彻底〃卡壳〃，全然找不到解题的途径。这时候如果能够认真读题，画出草图，拨开浮云遮望眼，定能有所发现。以上题为例，首先须发现是函数f(x)和g(x)的公切线z其次通过画出草图可见切点不同_,接着思路就水到渠成了。根据切点不同分别设切线方程，将两者都化成斜截式,

8、由于是公切