函数图像的切线问题

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1、高二数学学案编号函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(x0，f(x0))，求y＝f(x)在点P处的切线方程：切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点为P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y＝f(x)的切线方程：设切点为P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将A(s,t)代入求出

2、x0.2．两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=g(x)存在公切线，若切点为同一点P(x0，y0)，则有若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有.题型分类解析题型一已知切线经过的点求切线方程例1.求过点与已知曲线相切的切线方程.解：点不在曲线上.设切点的坐标，则，函数的导数为，切线的斜率为，，点在切线上，，又，二者联立可得相应的斜率为或12高二数学学案编号切线方程为或.例2.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为________解析：由切线过可得：，所以，另一方面，，且，所以，从而切线方

3、程为：例3.已知直线与曲线切于点，则的值为_________解析：代入可得：，，所以有，解得题型二已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数，则：（1）在曲线上是否存在一点，在该点处的切线与直线平行（2）在曲线上是否存在一点，在该点处的切线与直线垂直解：设切点坐标为由切线与平行可得：切线方程为：12高二数学学案编号（2）设切点坐标，直线的斜率为而不在定义域中，舍去不存在一点，使得该点处的切线与直线垂直例5.函数上一点处的切线方程为，求的值思路：本题中求的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，在直线上，，即，得到的一

4、个等量关系，在从切线斜率中得到的导数值，进而得到的另一个等量关系，从而求出解：在上，又因为处的切线斜率为,例6.设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12高二数学学案编号，进而可得导函数的最小值为，便可求出的值解：直线的斜率为，依题意可得：题型三公切线问题例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于(　　)A.或B.或C.或D.或思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线含有参数，所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线求出的值.设过

5、的直线与曲线切于点,切线方程为，即，因为在切线上，所以解得：或，即切点坐标为或.当切点时，由与相切可得，同理，切点为解得12高二数学学案编号答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与求的过程中，由于曲线为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，

6、而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（）A．最大值为B．最大值为C．最小值为D．最小值为解析：设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，由可得：，所以有，所以，即，设，则.可知在单调递增，在单调递减，所以12高二数学学案编号题型四切线方程的应用例9.已知直线与曲线有公共点，则的最大值为.解：根据题意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时，取得最大值.设切点坐标为，则，，切线方程为，原点在切线上，，斜率的最大值为.例10.曲线在点处的

7、切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）A.B.C.D.思路：由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程所以切线方程为：即，与两坐标轴的交点坐标为例11.一点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是()．12高二数学学案编号A.B.C.D.思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.，对于曲线上任意一点，斜率的范围即为导函数的值域：，所以倾斜角的范围是.答案：B例12.已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围思路：由于并不知道3条切线中是否存在以为切点的切线，所以考虑先设切

8、点，切线斜率为，则满足，所以切线方程为，即，代入化简可得：，所以若存在3条切线，则等价于方程有三个解，即与有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标，切线斜率为，则有：切线方程为：因为切线过，所以将代入直线方程可得：12高二数学学