函数切线问题的解法探究.pdf

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1、2014年第9期·解题秘笈·若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由。解：由f(1)=g(1)(1)_g()，得a=b=l，则f(x)=函数切线问题的解法操究lnx+x。因f(x)和g()有一个公共点(1，1)，而函数g()在点(1，1)的切线方程y=2x一1，江苏省如皋市第一中学许琴下面验证f(x)≤一1，g(x)≥2x一1都成立；设h()=lnx+x一(2x一1)，h()=一1=二易知其在(0，1)上递增，在(1，+。。)上递减，所以h()函数图象的切线问题使许多同学感到抽象，觉得不易在=1时取得最大值h(1)=0，作出

2、，也不易求解，觉得深不可测，缺乏深刻的认识。可是则l眦+≤一1恒成立；这类问题又是考查的重点难点之一，在各类考试中频繁出另外2_+1I>0，得9g2≥一1，知)≥一1恒成立，现，作为学生必须理清眉目，找到思维的脚手架，才能应付故存在这样的k和m，且k=2，m—l。自如，实现切线问题的“大瘦身”。说明：该题是我们不生疏的“隔离直线”问题，恰巧的函数y=f(x)的切线求法：是此直线也是两曲线的公切线，且切点同一。采取的方法公式：设切点为(yo)，则切线方程为，，—yo(o)(一是先找出公共点，根据公式求出切线方程，然后验证该切0)

3、线为“隔离直线”，即先求再证。可是该题在全市上学期期知识点：切点既在切线上也在曲线上，切线的斜率等末考试中得分率很低，学生连切线都没求出，更不谈证明于切点的横坐标的导数值。了。考后问学生思维受阻在何处，一者说没发现公共点，另一一、单个函数的切线问题者说不知道是切线。种种现象说明，学生对于两函数的例1：已知函数f(x)一3：公切线毫无知识储备，其实本质跟一函数的切线求法异曲(1)求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；同工：找出切点，代人切线方程的公式，借助函数与方程的(2)若过点A(1，m)(m≠一2)可作曲线y=f()的三

4、条方法解题。切线，求实数m的取值范围。三、两个函数的公切线且切点不同解：(1j厂(x)=3x2-3(2)=9(2)=2，则曲线y()在例3：已知函数厂()=e，g()=lnx是否存在直线2，使x=2处的切线方程为：y一2=9(x一2)，即y=9x一16得1同时是函数f(x)，()的切线?说明理由。(2)过点a(1，m)向曲线，，-厂()作切线，设切点为()解：假设存在直线2同时是函数f(x)，g(x)的切线，设l与f(x)，g()分别相切于点M(m，e)，Ⅳ(n，Inn)，则z：一贝0，，0=：一3x0，k=f(x0)=3：一

5、3fJ，I=所以切线方程为，，一(：一3x。)=(34—3)(。)em=em(—m)或y-inn=(—n)，{n要说明z【em(1-m)：lnn一1将A(1，m)代人上式，整理得2x：一3x~+m+3=0是否存在，只需说明上述方程组是否有解。因为过点A(1，t／'t)(m≠2)可作曲线y=f()的三条切由em=得n=e一，代入e(1一m)=lnn一1，得e(1一m)线，所以方程：一3x：+m+3=0有三个不同的实数根，n即()=2~3-3x2+m+3，g()=6X2-6x=6x(x一1)=一m-1另列表如下：即em(1-m)+

6、，n+1=0，令h(m)=em(1-m)+，n+1因为h(1)=2>0，h(2)一e+3<0，所以方程e(1一m)+(一o。，0)0(0，1)1(1，+∞)m+l=O有解，则方程组有解，故存在直线同时是函数f(x)g()+00+和()的切线。g(x)递增极大递减极小递增说明：这类问题对于众多考生来说，可算是彻底“卡壳”，全然找不到解题的途径。这时候如果能够认真读题，画出草图，拨开浮云遮望眼，定能有所发现。以上题为例，首先须发现是函数f(x)和g(x)的公切线，其次通过画出草图可见切点不同一，接着思路就水到渠成了。根据切点不同分

7、别设切线方程，将两者都化成斜截式，由于是公切线，得到对于系数相等，列出二元方程组，通过消元法得到一元方程看是否有解便顺利解出。以上关于一般函数的切线问题的知识脉络为：一个函数的切线要关注已知点是否为切点；两个函数的切线要关注切点是否同一。总之，用到的知识点都是切线方程的公式，处理的思想方法有函数与方程及消元法等。在这里需要解释的是：三个例题都用到了函数与方程的思想，学生需会触类旁通，以数助形。只有会将已知条件灵活转化到这些知识点与思想方法上来，在学中不断体会，才能理清各种切线问题的藤蔓，摘取丰硕的果实!