关于函数切线方程问题的探究

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1、关于函数切线方程问题的探究摘要：利用导数的几何意义求函数的切线方程，以及利用切线方程解决函数相关问题，是高考中的热点问题。如何高效地解决相关问题，并迗到事半功倍的效果，就要求我们掌握解题的规律，提升分析问题、解决问题的能力，培养创新、探究的能力。关键词：函数；切线方程；问题探究分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2015）11-0080在本文中，笔者通过我们学习中常遇到的数学题型，加以分析、归纳，一起来探究、总结规律，掌握解题方法。题目：已知曲线y=x2+①求曲线在点p（2，4）处的切线

2、方程。②斜率为4的曲线的切线方程。分析：①曲线在点p（2,4）处的切线方程，点p即为切点。下面只需利用导数求函数的斜率，再运用点斜式即可以求出切线方程。②斜率为4的曲线的切线方程，则需要求出切点，导数的几何意义就是斜率，我们可以利用导数求出切点坐标，再运用点斜式即可以求出切线方程。解①YP（2，4）在曲线y=x2+上，且x'=x2•••在点P（2，4）处的切线的斜率k=4.关于函数切线方程问题的探究摘要：利用导数的几何意义求函数的切线方程，以及利用切线方程解决函数相关问题，是高考中的热点问题。如何高效地解决相关问题

3、，并迗到事半功倍的效果，就要求我们掌握解题的规律，提升分析问题、解决问题的能力，培养创新、探究的能力。关键词：函数；切线方程；问题探究分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2015）11-0080在本文中，笔者通过我们学习中常遇到的数学题型，加以分析、归纳，一起来探究、总结规律，掌握解题方法。题目：已知曲线y=x2+①求曲线在点p（2，4）处的切线方程。②斜率为4的曲线的切线方程。分析：①曲线在点p（2,4）处的切线方程，点p即为切点。下面只需利用导数求函数的斜率，再运用点斜式即可以求出切

4、线方程。②斜率为4的曲线的切线方程，则需要求出切点，导数的几何意义就是斜率，我们可以利用导数求出切点坐标，再运用点斜式即可以求出切线方程。解①YP（2，4）在曲线y=x2+上，且x'=x2•••在点P（2，4）处的切线的斜率k=4..•.曲线在点P(2，4)处的切线方程为y_4=4(x-2)，即4x-y-4=0.②设切点为(xO,yO),则切线的斜率k=x20=4,x0=±2切点为(2,4)或-2，-，•••切线方程为y-4=4(x-2)或y+=4(x+2)，即4x_y_4=0或12x_3y+20=0.评析：本题主

5、要考查了切线方程的求解。①是已知切点缺斜率，②是已知斜率缺切点。只需求出所缺量，利用直线方程公式求出即可。变式1:探究：若将本例①中“在点P(2，4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？分析：虽然此时点P(2,4)在曲线上，但要注意过点P(2,4)，此点就不一定为切点，所以求切线方程就需确定切点和斜率。设切点，求切线方程，在将点代入求解。解：设曲线y=x3+与过点P(2，4)的切线相切于点AxO,x30+则切线的斜率k=x30•••切线方程为y-x30+=x30(x-xO)，即y=x20•x-x30+••••点P(

6、2，4)在切线上，•••4=2x20-x30+，即x30-3x20+4=0•••x30+x20-4x20+4=0.•••x20(xO+1)—4(xO+1)(xO-1)二0/.(xO+1)(xO-2)2=0.解得x0=-l或x0=2.故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0o评析：本题主要考查了切线方程的求解。当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解。此处，为什么不设斜率呢？因为设斜率，运算较为复杂，不易求解。通过原题及变式1，我们可以进行探究：1.曲线y=f(x)在点P(x0,yO)处的切线与过点P

7、(xO,yO)的切线，两种说法有无区别？(1)曲线y=f(x)在点P(xO,yO)处的切线是指P点为切点，斜率为k=fz(xO)的切线，是惟一的一条切线。(2)曲线y=f(x)过点P(xO,yO)的切线，是指切线经过P点。点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条。2.求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y=f(x)在点x=xO处的导数，即曲线y=f(x)在点P(xO,f(xO))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y_yO=f'(xO)•(x_x0)o3.对于一道数学问题，如果我们将其中某些

8、确定的数字改为参数，原曲线就变为动曲线，就将原问题置于开放的、具有动感的系统中，就像赋予新的生命一样，下面我们来看变式：变式2:已知a为常数，若曲线y=ax3+，直线4x-y_4=0与曲线相切，则实数a的值？分析：本题已知切线方程，求a的值。同样切点不知道，所以我们可以通过设出切点，再根据切点在曲线上也在直线上以及切点处的斜率就是斜线的斜率，构造方程组求解。