函数值域多种解法探究.pdf

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1、2006年11月20日592思路分析：令u=-x+2x+3，则u∈（-∞，4〕，u函数值域多种解法探究根据指数函数y=（1"3）的单调性可知，4-4y∈〔（1"3），+∞〕，易得函数的值域为〔3，+∞）。■浙江金华市孝顺中学盛建兰点评：对于一些能确定单调性的函数，用此法是最佳选择。六、不等式法函数是中学数学中最重要的概念之一，它是高中思路分析：视y为参数，解关于x的方程得：运用均值不等式可解决：如果n个正数的积（或数学的一条主线，是研究由定量到变量的根本途径，2（y-2）x+（y+3）x+（y-1）=0（1）和

2、）为常数，则当且仅当这n个正数相等时，它们的和也是高考的重要内容。值域是函数现代定义的三要素因原函数的定义域为R，（或积）有最小（或最大）值。在此，由于篇幅有限，不之一，在函数的求解和运算过程中经常用到。由于常当y≠2时，方程（1）有解的充要条件为：再举例说明。可参看例4。见函数的形式多种多样，如何求函数的值域一直是学2点评：（1）不等式法适合于解析式能运用均值不△=（y+3）-4（y-2）（y-1）≥0生们比较头痛的问题。值域是函数值所在的集合，一等式的函数；9-2%219+2%21旦函数的定义域和对应法则确

3、定了，函数的值域也就解此不等式得：≤y≤（2）使用中注意公式成立的条件“正、定、等”。33随之确定。下面介绍几种常用的求函数值域的方法，七、数形结合法1又∵当y=2时，x=-，重在分析解题思路，着眼在发展学生求同思维的同5数形结合是中学数学中的一种重要的思想方法。时，重视学生寻异思维的发展。9-2%219+2%21数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生故易得函数的值域为〔，〕。一、配方法33指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合利用二次函数的有关性质、图像分析，特别是求四、换元法百般好，隔离分

4、家万事休。”这种方法不仅仅体现在数某一给定区域的最值和值域。此方法一般可解决形如当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相学的其他领域，在求函数的值域与最值时也有良好的2y=a〔f（x）〕+bf（x）+c（a≠0）的函数的值域与最值。去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引反映。2进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种22例1、求函数y=x-6x+2的值域。例8、已知x+y+1=0，则%（x-1）+（y-1）的最小“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形22值是______。探究一：∵y=

5、x-6x+2=（x-3）-7式掩盖着的实质，发现解题方向。换元法是一种重要2222分析：可由x+y+1=0代入%（x-1）+（y-1）消去又∵（x-3）≥0∴（x-3）-7≥-7的数学解题方法，掌握它的关键在于观察、联想、发现∴函数的值域是〔-7，+∞）。与构造出变换式。变量x或y，从而减少变量，再运用有关函数的性质必可这里用到了配方法求函数的值域。%x+2求解。但是，想象得出，这种方法的计算量是不小的。例4、求函数y=的最值。222探究二：考虑到二次函数y=x-6x+2是对称轴为x=2x+5我们注意到%（x-

6、1）+（y-1）可以看作直线x+y+1=3，开口向上的抛物线，则当x=3时，函数有最小值（f3）=-7，分析：根据函数表达式的特征可考虑换元法。0上的点（x，y）与点（1，1）间的距离，从而可以简捷求2t解，如下图。故函数的值域是〔-7，+∞）。令%x+2=t（t≥0），则x=t-2，从而y=≥0，2一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考2t+12当t=0，即x=-2时，y=0；min虑它们的定义域。例如，在例1中将题目改为y=sinx-6sinx+2，则函数的值域就不是〔-7，+∞）了。这是因为当t>0

7、时，y=1≤1=%2（当且仅114当x∈R时，sinx∈〔-1，1〕。2t+22tt%t22

8、1+1+1

9、3%2由y=sinx-6sinx+2=（sinx-3）-7（配方法）∴min==%2%22当t=时，上式等号成立），又因sinx∈〔-1，1〕，可知函数的值域是〔-3，9〕。2例9、若复数z满足

10、z+%2+%2i

11、≤1，则

12、z

13、=max二、反函数法%223%2由互为反函数的两个函数具有的性质，可以通过于是当x=（2）-2=-2时，ymax=4。_____________，

14、z

15、min=___________

16、___。分析：本题如果用单纯的代数方法求解，需设z=求反函数的定义域来确定已知函数的值域。2例5、求函数y=x+%1-x的值域。x+yi，代入条件，用定义求解，比较繁琐，不易求得。但x+222例2、求函数y=的值域。3x-4分析：注意到sinθ+cosθ=1，故可令x=sinθ进行注意到

17、z+%2+%2i

18、≤1的几何意义：复数z表示以x+2三角换元。点（-%2，-%2）为圆心，以1为半