分式函数值域解法探析

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1、分式函数值域解法探析【摘要】函数既是中学数学各知识的交汇点，又是数学思想、数学方法的综合点，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为历年高考的重点与热点.而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现.学生对这个知识点熟悉但又不易掌握，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一.为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨.下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不妥之处敬请同仁指教.【关键词】

2、分式函数；值域解法一、相关概念函数值是指在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值.函数的值域是函数值的集合，是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合.函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定.分式函数是指函数解析式为分式形式的函数.二、分式函数的类型及值域解法类型一一次分式型一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数.1.y=cx+dax+b(a≠0)型例1求函数y=2-3x2x-1的值域.解法反函数法.利用函

3、数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.解反解y=2-3x2x-1，得x=2+y2y+3.对调y=2+x2x+3x≠-32.∴函数y=2-3x2x-1的值域为y≠-32.2.y=csinx+dasinx+b(a≠0)型分析这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名.可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=ct+dat+b（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似.即：将y=csinx+dasinx+b反解

4、，得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可.例2求函数y=sinx+22-sinx的值域.解由y=sinx+22-sinx，得sinx=2y-2y+1.∵-1≤sinx≤1，∴-1≤2y-2y+1≤1,解得13≤y≤3.3.y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b(a≠0)型分析这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故考虑叠加法.即：去分母以后，利用叠加公式和

5、sinx

6、≤1解题.例3求函数

7、y=3sinx-32cosx+10的值域.解∵2cosx+10≠0，∴3sinx-2ycosx=10y+3，∴9+4y2sin(x-φ)=10y+3,其中tanφ=2y3.由sin(x-φ)=10y+39+4y2和

8、sin(x-φ)

9、≤1，得

10、10y+3

11、9+4y2≤1.∴(10y+3)2≤9+4y2,整理得8y2+5y≤0.∴-58≤y≤0，即原函数的值域为-58，0.总结求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是

12、在指定区间上求分式函数的值域.类型二二次分式型二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数.由于出现了x2项，反解x的方法行不通.但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可考虑将其转化为不等式或方程来解题.1.y=dx2+ex+fax2+bx+c(a，d不同时为0)，x∈r型分析去分母后，将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0.由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，δ≥0(f(y)≥0),解不等式便可求出原函数的值域.即：用判别式法.先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)

13、=0,根据判别式δ≥0（δ=f(y)）,即可求出值域.例4求函数y=3xx2+4的值域.解由y＝3xx2+4，得yx2－3x＋4y＝0.当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由δ≥0，得-34≤y≤34.∵函数定义域为r，∴函数y＝3xx2+4的值域为-34，34.说明判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域.2.y=dx2+ex+fax2+bx+c(a，d不同时为0)，指定的区间上求值域型.例5求y=16x2-21x+55-4xx0,15-4x

14、>0.∴y=16x2-21x+55-4x=1-4x+15-4x=(5-4x)+15-4x-4≥2(5-4x)15-4x-4=-2.∴原函数的值域为［-2,∞).例6求y=x2+5x2+4的值域.错解y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4≥2.分析在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中x2+4和1x2+4不能相等，“相等”条件不能成立.所以不能使用均值定理.但若用判别式法又无法解决根式问