三次函数图像的中心切线及切线问题.pdf

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1、V01．11．No．5SeP．．2008高等数学研究STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS53一元三次函数图像的中心切线及切线问题。李晶张国坤(云南省曲靖市第一中学云南曲靖655000)摘要受2007年高考全国数学卷Ⅱ第22题启发，提出并探索一般一元三次函数图像切线问题，定义了中心切线概念，得出了切线条数及其条件的完备结论关键词对称中心；中心切线l切线条数的充要条件中图分类号0172抄录2007年高考全国数学卷Ⅱ第22题于下：已知函数f(sc)=z3一z．(I)求曲线y一厂(z)在点M(t，厂(￡))处的切线方程；(Ⅱ)设以>0．如果过点(口，6)可作曲线Y一，

2、(z)的三条切线，证明：一口0，则a+6一口30，进而一“

3、学之下的问题，受此启发，提出下面的问题并探索解决．问题：曲线C是一元三次函数厂(so)=(1．2C3+如2+CX+d(a≠O)的图像，曲线C的过已知点P(x。，Y。)的切线有几条?能找到决定切线条数的充要条件吗?探析：／(z)=3ax2+2bx+f，／，(z)=6ax+2b，由／7(z)=0得函数厂(z)图像的拐点z。(一导，／(一麦))，推测三次函数厂(z)图像关于点Zo(一麦，厂(一麦))呈中心对称．推测是成立的，证明如下：设M(x，厂(z))是三次函数y2／。(z)图像上任一点，M关于点z。(一五0，厂(一美))的对称点是∥i一差一z，2／(一麦)一厂(z))．／(一麦)

4、=口(一麦y+b(--3b--口)2+f(一麦)十d=誊一笔+d，，(等一z)=口(一瓦2b—z)3+6(一篓--X)2+c(一篓一z)+d=(一筹一篑z一2bxaa／2一甜3)0口J0“JZⅡ。Jc‘+(等+挚+如2)一等一cx+d=纵2．孬2b3一笺+d)一(ax3+k2+凹+d)一zf(一麦)一，(z)，即点M，也在三次函数Y=厂(z)的图像C上，因此三次函数厂(z)=凹3十缸2+凹+d的图像c关于点z。(一导，f(-导))呈中心对称．定义：点Zo(一蒉，f(-鲁))叫做曲线C：厂(z)=“3+bx2+凹+d(a≠o)的对称中心，C在其中心Zo处的切线z。?u做C的中心切

5、线，其方程是Y2JIl(z)=厂(一麦)(z+麦)+厂(一鱼3a)．·收稿日期：2007—06—2754高等数学研究2008年9月下面探索C的切线条数的充要条件．设曲线C的过已知点P(z。，Yo)的切线与曲线C的切点为T(t，，(￡))(注：P、T可能重合)，则切线斜率惫frr=厂(￡)=3at2+2bt+f，切线的方程是：了一，(￡)一／(￡)(z～￡)．C的切线过点P(Xo，Yo)甘汕一(at3+bt2+d+d)=(3at2十2良+f)(zo一￡)甘2以3+(6—3凹o)产一2&xot+(yo一口。一d)=0．构造三次函数：g(￡)=2at3+(6—3axo)产一2bxot

6、+(yo—CoT．o—d)，则方程g(￡)=0实根个数等于曲线C的过点P的切线的切点个数，也就等于曲线C的过点P的切线条数．由于三次函数g(￡)的值域是实数集，方程g(￡)=0至少有一个实根，则过P与曲线C相切的直线至少有一条．下面探索方程g(￡)；0的实根个数及其条件．97(￡)=6at2+2(b一3axo)t一2bxo=6a(￡一zo)(￡+善)．1．Xo=一F0时．口>0时对任意￡∈R恒有g7(￡)≥0，g(￡)在R上单增；口<0时对任意t∈R恒有g7(￡)≤0，g(￡)在R上单减．故z。=一々o。时方程g(￡)=o有唯一实根，曲线C的过点P的切线有且仅有一条．2．Xo≠

7、一麦时·方程97(￡)=o有两个不等实根ZO、一瓦b，函数g(￡)在￡2z。、￡一一麦处取到一个极大值和一个极小值：g(x。)=2∞3+(6—3axo)z3—2bx3+yo一“o—d=Yo一(∞3+缸5+口。+d)=执一f(xo)g(一麦)一⋯”j=(篓一f)xo+Yo羔--d----yo一[-(c--芝)勘一羔+d]一弘～^(Xo)．其中．h(xo)一／(一麦)(Xo十麦)十，(一麦)=⋯⋯=(f一篓)z。一羔“由于x。≠一_o．g(￡)的两个极值点不可能同时在t轴上．(1)g(z。)=0