一类函数最值问题的解法探究

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1、一类函数最值问题的解法探究一类函数最值问题的解法探究浙江省衢州市教育局教研室(324000)胡兴余P形如fxx是一种特殊形式的函数，研究该函数的单调性，在解题中有十分垂x要的作用。一、问题4(k)的最小值sin242原解：ysin2=2X2=4Symin42sin例：求ysinrri~~Jsnr—.Vsiir02二、探究这是学生在练习中常见的一种解法，这个结论正确吗？我们知道，在应用算术平均数与儿何平均数定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取

2、得”。求最值时，若忽略了某个条件，就会导致解题的失败。在木题中，当sin24,即sin时，不等式取号，但2sinIsin

3、1

4、,显然

5、sin

6、，故不能使用定理，怎么办呢？我们不妨换一个角度思2考问题，利用两数单调性来解决，设tsin,其中k,则O〈W1,而yt444泄义域是0,1，故yt在时取最小t.t422值，此时sin1,至ysin的最小值为5sin2在0,2内递减（可证明），乂yt1型的式子，即两数Z积为常数，但由于定义域x11的限制,不能使等号成立。如yx（x25）的最小值,尽管xM2,但当xxlx,

7、即x=l时取“二”号，却不在具定义域5,内，因此不能使用定理。此时,我们x由此可见，冇些题H尽管形式是x可利用函数的单调性求解。三、性质函数fxxp（pHO）有如下性质：xl、当PV0时，fxx2、当P>0时fxxp在（一，0）和（0,）上为增函数xp在（0上为减函数，在和，上为增函数。（证明留给读者）四、应用有些数学问题，对通过换元将原问题转化成fxxp型的函数最值问题，求解这x类问题通常有两种思考方法，一是运用基本不等式求解，但要注意等号成立的条件；二是当等号不能成立时，则町利用函数的单调性求解。Isin

8、2x11解析：设t,则ftt,t0,,由性质1知，ft在0,上为t222增函数，fmaxtf3112222例2、若不等式x2—5x—6

9、]总有不等式2cos0+2ksin0-2k-2<0成立？(1993年哈尔滨市高中数学竞赛题)解析：当0=2时，对任意实数k原不等式恒成立2当ee[0,2(1sin)2,设1-Sin0=t,]时，原不等式等价于2(1-k)V21sin则te(0,1),原不等式等价于2(1-k)Vt+2令f(t)=t+2,由性质2知，f(t)在(0,1)tt上单调递减,fmin(t)=f(l)=l+2=3,02(1-k)<3恒成立。软>-1$k的取值范围是21(-1,+三)24al722aa44174412,Ma>0,Saa例4

10、：已知a>0,求证:a简证：原不等式町转化为a月.仅当沪2时取等号，设ta411,则ftt(t$4),由性质2知，ftt在att17上为增函数，而的定义域，故2=1,ft4,ftfd4,即4al7a2^aa44例5：求实数a的取值范围，使对任意实数x和任意0,都有2x32sinl22cos+xasinacos3(1996年全国高中数学竞赛题)。82解析：令tsincos，则t,且2sincost1212原式左边二xt2xatxt2xat22221221二tat228恒成立，即等价于tat2222153o解得，

11、a^t或aWt42t2t55⑴若，曲性质2知，ft=t在上为减函数，而ft的定义域为2t2t，故fmaxtf17,Sa^722(2)若a^t33,则由基本不等式得，tx/62,当且仅，c：当2t2tt1时取等号，故aa/6综上所得，aV6的取值范围为u,72例6：甲乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成木（以元为单位）由可变部分和固址部分组成，可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元，为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶

12、？解析：设全程运输成本为y元，则yassabv2sbv,（O〈vWc）VVV=S,a,b,v均为正,故s成立aa时，上式中等号bv$yjab当且仅当bv即vvvc,则当v,全程运输成本y最小aa时，则y=sbv=sbv,由性质2知y在上为单调递减，bvvasbv而y二的定义域为0,c,^v=c时，全程运输成本y最小bv综上所知，为使全程运输成本y最小，c时，行驶速度V时，行驶速度V=c评注：例5,例