一类绝对值函数最值问题的解法及其应用

一类绝对值函数最值问题的解法及其应用

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1、一类绝对值函数最值问题的解法及其应用-¾图解2013年湖南省高考数学应用题湖南省南县第一中学陈敬波(413200)在高中数学教材必修一与选修4-5中提到过绝对值函数,求含绝对值函数的最大值与最小值问题,是中学生学习中的难点问题,解决问题的常用方法是分类讨论去绝对值,化为分段函数,利用函数的图象求解,或利用绝对值的几何意义求其最值.在学习与教学过程中,我们应该充分利用函数的图象求解.本文侧重用函数的图象解答.例1.求函数f的最小值.思路一.(分类讨论法,目的是去掉绝对值,化为分段函数)f(x)=.作出函数的图象,由图1得:,ymin=3.思路二.

2、利用绝对值的几何意义f(x)可表示为数轴上的动点M(X)到数轴上两定点A(-1)、B(2)的距离的和,由几何意义有,,f(x)min=3,例2.求函数f(x)=

3、x+3

4、-

5、x-1

6、的最大值与最小值思路一.分类讨论法f(x)=.作出函数的图象.由图得:1,f(x)max=4;x,f(x)max=4.注:通过两个绝对值函数的作图,我们发现函数图象在零点(使绝对值为零的x值)处图象的出现转折,函数图象是中间部分是线段,两端为射线的图形.下面例3进一步验证上面的结论.例3.作出下列函数图象,并指出它的最大值与最小值.(1)y=

7、x+10

8、+

9、x-14

10、

11、+

12、x-3

13、,(2)y=

14、1-x

15、+

16、x

17、+

18、x-20

19、.分析:分类讨论,去掉绝对值,作出函数的图象.(1)由图3知:x=3时,ymin=24.(2).由图4得:x=1,y=20.例4.(2013年湖南省高考数学理20题)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图5所示的路径都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(I

20、I)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.解:设点P的坐标为(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为

21、x-3

22、+

23、y-20

24、,(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值和(记为d)的最小值.①当时,如图6.d=

25、x+10

26、+

27、x-14

28、+

29、x-3

30、+2

31、y

32、+

33、y-20

34、令d1(x)=

35、x+10

36、+

37、x-14

38、+

39、x-3

40、,由图3知x=3,d1(x)min=24.令d2(y)=2

41、y

42、+

43、

44、y-20

45、,得,d2(y)②当时,由于“L路径”不能进入保护区,如图7.所以d=

46、x+10

47、+

48、x-14

49、+

50、x-3

51、+1+

52、1-y

53、+

54、y

55、+

56、y-20

57、此时d1(x)=

58、x+10

59、+

60、x-14

61、+

62、x-3

63、,d2(y)=1+

64、1-y

65、+

66、y

67、+

68、y-20

69、故d=d1(x)+d2(y).综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度值和最小.湖南高考特别注重对数学应用意识的考查,每年高考都要有一道依据现实生活背景,提炼相关数量关系,构造数学模型,解决数学问题的应用题,这是湖南高考的显著特征,也是湖南考生

70、的难题.本题建模后,结合绝对值函数的图象求解显得简单而可行.

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