对一类双绝对值函数最值问题的探究

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1、万方数据对一类双绝对值函数+量值问题的探究范世祥绝对值函数的最值问题，在历年的高考卷中屡见不鲜，在各类竞赛和自主招生考试中更是备受命题者的青睐．该类问题综合运用数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法，具有较好的选拔功能．本文围绕双绝对值函数，从一个简单的问题人手，层层递进，从而完成对该类试题的探究．ti例题求函数厂(z)一Ix+1【+Iz一2的最小值．☆一、探究试题的解法分析一分类讨论去绝对值，或者称“零点分段法”是处理该问题的通法，两个零点分别是一1和2，去掉绝对值得f(z)一f一2z+1，z<一1，I工+1l+lz一2I=<3，一1≤z≤2，根据12z一1，z>2，各段函

2、数的单调性或者直接作图知，厂(z)的最小值是3．分析二利用绝对值的几何意义，37+1l+l37—2I表示数轴上的点z到两点一1和2的距离之和．当一l≤z≤2时，此距离等于3；当z<一1或x>2时，距离之和大于3．所以Iz-4-1l+Iz一2I的最小值是3．分析三(秒杀法)利用绝对值不等式l口l+lbl≥ICt-4-bl，厂(z)一lz+1I+lz一2l≥Iz+1一(z一2)l一3．'ZNewUniversityEntranceExamination轰二、探究试题的推广题1-1对任意z，Y∈R，lz一1l+Iz+Iy一1l+lY-I-1l的最小值为．分析将两个双绝对值综合在一起

3、来考查，易知1z一1l+1zl≥1，Iy一1I+Iy+1≥2，这里z，y是相互独立的两个变量，故最小值就是1+2—3．题1-2求函数厂(z)一Iz一1l+I2z一4l的最小值．分折一分类讨论去绝对值，求分段函数的最小值．分析二注意到与母题的区别，后面一个绝对值中z的系数发生了改变，为此把函数调整成f(z)一Jz一1J+J2z一4J—z一1l+Iz一2l+Iz一2I，利用绝对值的几何意义可知，当37—2时，厂(z)取得最小值1．19题卜3求函数厂(z)一≥：lz一卵l的月=l最小值．分析相当于对题卜2进一步推广，函数厂(z)的值表示数轴上的点z到点1，2，3，⋯，19的距离之和

4、．根据对称性可知，当z一10时，厂(z)取得最小值2×(1+2+⋯+9)一90．进而可以得出更一般性结论：设函数厂(z)一∑Iz—z：I，z。≤zz≤⋯≤％i=1S万方数据若"为奇数，则当z—z掣时，，(z)取得最小值；若，z为偶数，则当X∈[z导，z寻+。]时，厂(z)取得最小值．题1—4(2011年北约自主招生题)求函数厂(工)一『z一1f+j2x一1I+⋯+2OlIx一1l的最小值．分析对题卜3的更进一步变式，不但绝对值个数增多，而且每个绝对值中z的系数都是不同的．利用题卜3得出的一般性结论，得到以下解答：口I的最小值为3，则实数理的值为()A．5或8C．一1或一4B．

5、一1或5-D．一4或8分析本题是题I一2的倒挂考法，已知最小值，求函数式中的参数的值．解法是不变的，，(z)一l工+1I+I2z+51l—Iz+1+lz+号}+lz+号l，无论一1与一号的大小关系如何，由一般性结论知，在最中间的3／"一一号处取得最小值，所以有厂(一号)一3，厂(z)一l工一1I+IT一虿1『+Iz一虿1l+层I]1-号+1I一3，解得口一一4或8·故选D．z一号l+Iz一号i+Jz一÷I+⋯+卜赤¨一赤

6、+．．．+卜志J共有1+2+3+⋯+2011一盟±呈盟善坚羔业一2023066个点．设z．1n—ov”●，l’、．，^一一·，z：一工。一号，z。=z。一z

7、。=÷，⋯，z2023066一彳三彳．因为互旦攀一1011533．zz—F吉订·因为三半一·现在求zl⋯533和z101lⅢ的值．设z1⋯533一土t，则1+2+3+⋯+f≥1011533，1+2+3+⋯+t一1<1011533．解得t一1422．且z⋯，湖一Xl01153453一r忌．故当z—r扬时，z⋯1533一r砸‘酸当z一丌函“日，厂(z)取得最小值．厂(r扬)一1一r扬+1—2×r扬+⋯+1—1422Xr忌+1423X丽1—1+1424X而1一l+⋯+2011xr扬一1—832籍．建墨，堡壅堕墨塑望旦奎丝一题2—1若函教厂(工)一1．r+】l+l2x+评析纵观以上变

8、式题，都在利用一般性结论来解决这类含绝对值函数的最值问题，关键在于将每个绝对值都改写成z系数为l的形式，然后把零点按大小依次排序，寻找中间值即可．这些变式题都在使用由题卜3拓展的一般性结论来解决．这一结论其实从一次绝对值函数的图象上不难看出，当xz。时，图象是分别向左右两边向上无限伸展的两条射线，而中间部分在区间Ex，，z㈩](i一1，2，3，⋯，，?一1)上均为线段，显然在中间点或中间段处最低，此时函数取得最小值．青四、探究试题的持续变式题3—1求函数，(z)一I2z+1J—lz一4I的最