含绝对值函数与最值问题

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1、专题三:含绝对值函数的最值问题1.已知函数(),若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.不等式化为即:(*)对任意的恒成立因为,所以分如下情况讨论:[来源:学科网ZXXK]①当时,不等式(*)②当时,不等式(*)即由①知,资料2.已知函数f(x)=

2、x-a

3、,g(x)=x2+2ax+1(a为正数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.(1)求a的值;(2)求函数f(x)+g(x)的最值.【解析】(1)由题意f(0)=g(0),∴

4、a

5、=1.又∵a>0,∴a=1.(2)由题意f(x)+g(x

6、)=

7、x-1

8、+x2+2x+1.当x1时,f(x)+g(x)=x2+3x在[1,+∞)上单调递增,当x<1时,f(x)+g(x)=x2+x+2在上单调递增,在(-∞,]上单调递减.因此,函数f(x)+g(x)在(-∞,]上单调递减,在上单调递增.所以,当x=时,函数f(x)+g(x)的最小值为;函数无最大值.资料资料资料资料5.已知函数,其中.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求的取值范围.资料6.设函数,[来源:学科网](1)若,求函数的零点;(2)若函数在上存在零点,求实数的取值范围.解

9、:(Ⅰ)分类讨论解得:...................................................4分资料(Ⅱ)函数在上存在零点,即,上有解,令,只需..................................................5分当时,,在递增,所以,即...............................................................................7分当时,,对称轴又当在递增,所以,即当在递增,递

10、减,且所以,即...............................................................................................................................................10分当时,易知,在递增,递减,递减,所以,,当,,所以,即当,,所以,即.....................................................................

11、................................................................................14分综上所述:当时,当,当,........................................................................................15分7.已知函数.(I)若在区间上不单调,求的取值范围;资料(II)若对于任意的,存在,使得,求的取值范围.解:……5分(II)解法:……9分,

12、……………13分且上述两个不等式的等号均为或时取到,故故,所以……15分资料、8.已知函数.(Ⅰ)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值.解:(1)不等式对恒成立,即(*)对恒成立,①当时,(*)显然成立,此时;②当时,(*)可变形为,令因为当时,,当时,,所以,故此时.综合①②,得所求实数的取值范围是.(2)因为=…10分资料①当时,结合图形可知在上递减,在上递增,且,经比较,此时在上的最大值为.②当时,结合图形可知在,上递减,在,上递增,且,,经比较,知此时在上的最大值为.

13、③当时,结合图形可知在,上递减,在,上递增,且,,经比较,知此时在上的最大值为.④当时,结合图形可知在,上递减,在,上递增,且,,经比较,知此时在上的最大值为.当时,结合图形可知在上递减,在上递增,故此时在上的最大值为.综上所述,当时,在上的最大值为;当时,在上的最大值为;当时,在上的最大值为0.资料

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1、专题三:含绝对值函数的最值问题1.已知函数(),若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.不等式化为即:(*)对任意的恒成立因为,所以分如下情况讨论:[来源:学科网ZXXK]①当时,不等式(*)②当时,不等式(*)即由①知,资料2.已知函数f(x)=

2、x-a

3、,g(x)=x2+2ax+1(a为正数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.(1)求a的值;(2)求函数f(x)+g(x)的最值.【解析】(1)由题意f(0)=g(0),∴

4、a

5、=1.又∵a>0,∴a=1.(2)由题意f(x)+g(x

6、)=

7、x-1

8、+x2+2x+1.当x1时,f(x)+g(x)=x2+3x在[1,+∞)上单调递增,当x<1时,f(x)+g(x)=x2+x+2在上单调递增,在(-∞,]上单调递减.因此,函数f(x)+g(x)在(-∞,]上单调递减,在上单调递增.所以,当x=时,函数f(x)+g(x)的最小值为;函数无最大值.资料资料资料资料5.已知函数,其中.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求的取值范围.资料6.设函数,[来源:学科网](1)若,求函数的零点;(2)若函数在上存在零点,求实数的取值范围.解

9、:(Ⅰ)分类讨论解得:...................................................4分资料(Ⅱ)函数在上存在零点,即,上有解,令,只需..................................................5分当时,,在递增,所以,即...............................................................................7分当时,,对称轴又当在递增,所以,即当在递增,递

10、减,且所以,即...............................................................................................................................................10分当时,易知,在递增,递减,递减,所以,,当,,所以,即当,,所以,即.....................................................................

11、................................................................................14分综上所述:当时,当,当,........................................................................................15分7.已知函数.(I)若在区间上不单调,求的取值范围;资料(II)若对于任意的,存在,使得,求的取值范围.解:……5分(II)解法:……9分,

12、……………13分且上述两个不等式的等号均为或时取到,故故,所以……15分资料、8.已知函数.(Ⅰ)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值.解:(1)不等式对恒成立,即(*)对恒成立,①当时,(*)显然成立,此时;②当时,(*)可变形为,令因为当时,,当时,,所以,故此时.综合①②,得所求实数的取值范围是.(2)因为=…10分资料①当时,结合图形可知在上递减,在上递增,且,经比较,此时在上的最大值为.②当时,结合图形可知在,上递减,在,上递增,且,,经比较,知此时在上的最大值为.

13、③当时,结合图形可知在,上递减,在,上递增,且,,经比较,知此时在上的最大值为.④当时,结合图形可知在,上递减,在,上递增,且,,经比较,知此时在上的最大值为.当时,结合图形可知在上递减,在上递增,故此时在上的最大值为.综上所述,当时,在上的最大值为;当时,在上的最大值为;当时,在上的最大值为0.资料

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