含绝对值函数与最值问题

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1、专题三:含绝对值函数的最值问题1.已知函数()，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.不等式化为即：（*）对任意的恒成立因为，所以分如下情况讨论：[来源:学科网ZXXK]①当时，不等式（*）②当时，不等式（*）即由①知，资料2.已知函数f(x)＝

2、x－a

3、，g(x)＝x2＋2ax＋1(a为正数)，且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等．(1)求a的值；(2)求函数f(x)＋g(x)的最值．【解析】(1)由题意f(0)＝g(0)，∴

4、a

5、＝1.又∵a>0，∴a＝1.(2)由题意f(x)＋g(x

6、)＝

7、x－1

8、＋x2＋2x＋1.当x1时，f(x)＋g(x)＝x2＋3x在[1，＋∞)上单调递增，当x<1时，f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2在上单调递增，在(－∞，]上单调递减．因此，函数f(x)＋g(x)在(－∞，]上单调递减，在上单调递增．所以，当x＝时，函数f(x)＋g(x)的最小值为；函数无最大值．资料资料资料资料5.已知函数，其中．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求的取值范围．资料6.设函数，[来源:学科网]（1）若，求函数的零点；（2）若函数在上存在零点，求实数的取值范围．解

9、：（Ⅰ）分类讨论解得：...................................................4分资料（Ⅱ）函数在上存在零点，即，上有解，令，只需..................................................5分当时，，在递增，所以，即...............................................................................7分当时，，对称轴又当在递增，所以，即当在递增，递

10、减，且所以，即...............................................................................................................................................10分当时，易知，在递增，递减，递减，所以，，当，，所以，即当，，所以，即.....................................................................

11、................................................................................14分综上所述：当时，当，当，........................................................................................15分7.已知函数．（I）若在区间上不单调，求的取值范围；资料（II）若对于任意的，存在，使得，求的取值范围．解：……5分（II）解法：……9分，

12、……………13分且上述两个不等式的等号均为或时取到，故故，所以……15分资料、8.已知函数．（Ⅰ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值．解：（1）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，①当时，（*）显然成立，此时；②当时，（*）可变形为，令因为当时，，当时，，所以，故此时.综合①②，得所求实数的取值范围是.（2）因为=…10分资料①当时，结合图形可知在上递减，在上递增，且，经比较，此时在上的最大值为.②当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，，经比较，知此时在上的最大值为.

13、③当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，，经比较，知此时在上的最大值为.④当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且,，经比较，知此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在上递减，在上递增，故此时在上的最大值为.综上所述，当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为0.资料