一类面积最值问题解法探究

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1、一类面积最值问题解法探究•中学数学论文—类面积最值问题解法探究文/徐世奎【摘要】数学的特点之一就是它具有严密的系统性，数学的知识、思想、方法之间都有密切的内在联系。要理解和掌握数学的知识、思想和方法，不仅要理解和掌握数学的每一个知识、思想和方法,而且还要理解和掌握数学的知识、思想、方法之间的内在联系。那么善于总结归纳数学思想与方法是学好数学的必须。关键词lil积;抛物线；二次函数本文以一道习题的多种解题方法出发，体会总结归纳数学思想方法对数学学习的好处。问题：已知抛物线y二ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线为

2、y=ax2-4ax+4a+l正方形ABCD的中心在坐标原点其边分别平行于坐标车由,以0为圆心的圆在第二象限内与正方形ABCD相交于点P、Q,且P、Q在抛物线y二ax2+bx+c上。(1)求a的取值范围;(2)设AB交X轴于点E,若PE丄EC•求E、C两点的坐标；(3)在(2)的条件下，设直线AC与y二ax2+bx+c相交于M、N，问在直线AC上方的抛物线y二ax2+bx+c上，是否存在一点T,使得△MNT的面积最大？若存在求出最大面积，并指出此时T的坐标，若不存在，请说明理由。考点：二次函数综合题分析：(1)分析说理或论证均

3、可。(2)利用相似求出P、Q,坐标是关键。(3)如何求面积最大值，利用代数或几何方法均可,这将是本文探究的重点。解析：(1)通过观察y=ax2・4ax+4a+l,不难发现y=a(x-2)2+l/将其沿x轴向左平移2个单位后就成了y二ax2+bx+c，故y二ax2+bx+c即为y=ax2+lo方法一(叙述说理)••7=3x24-1的对称轴为y轴,经过P、Q两点•••抛物线的开口必须向下/.aO方法二(论述说理)设P(Xp.yJQ(x(),yd,将其带入y=ax2+1得yp=axP2+1,yo=axa2+1.•.axP^axQJ

4、yp-yQ/.a(xp+Xq)(Xp-xQ)=yp-yQyp>yQr,Xp>xQ,xp<0,xQ<0/.xp+xQO,yp-yQ>O•yp~yQ

5、且只有一个交点时.AMNT以MN为底边的高绘大，从而鹵积最大。由A（-辛号）,C（j~,号）得直线解析式y二-x・故由y=-x+by一#x得丁*・x+b「二0.由△二0得b二弟Zo=0x二9.=919、S'颐二SAM5T+S二*TS72TS二T5上一#x〔+X]+方法二:几何法，将△MNT如图分解成曲个共底的二角形。临+对二夕TSxGN而GN长度一定，要使S仙最大.则TS长度最大i殳T（Xir--^-x1+1）,则S・•・当冶二寻时TS最大，此时T（訂，薯）方法三：代数法，构建关于NT的面积的二次函数是关键。▲y设T（xOz

6、yO）S^MNT=S四边形MGNT-S^MGN=（S梯形MGST+S^TSN）・S^MGN故应先求出M、N的坐标z从而得出以xO为自变量的S的二次函数，求出最值。可见一题多解,就是对于同一问题,由于观察的角度不同、侧重点不同,运用知识的不同，思考方向和思维力度的不同/从而得到不同的解法。采用不同方法求解，是开拓学生思路,培养学生将已学知识融会贯通的一个重要途径，用多种方法解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握和运用所学知识,而且，通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法，能够培养创造性思维能力。（作者单位:湖北省宜昌市

7、夷陵区分乡初中）