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1、初中数学最值问题的解法探究江西省九江市同文中学罗序堂332000一提到最值问题，自然会联想到求二次函数的最大值或最小值，其实这只是求最值问题的一个方面，实际上求最值要综合运用不等式、函数、三角形等有关知识，同时还要运用转化思想、分类思想、数形结合思想。所以解决最值问题，有利于培养学生的数学思想，培养他们解决数学问题的能力，本文从几个方面探究最值问题的解法，以达到抛砖引玉之效。一、运用配方法求最值例1．求多项式的最小值解析：这是一个多项式的最值问题，我们可以借助于配方法及非负数性质来求解。二、运用根的判别式求最值例2．设a、b为实数，那么的最小值是_________________
2、.解析:此题应构造成关于a或b的一元二次方程形式,再利用判别式得出相应不等式,从而问题得解.三、运用不等式求最值例3.已知,求的最小值.解析:由及就联想到,再由的非负性可得不等到式:一、运用一次函数增减性求最值例4.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一段时间内能售出A、B两种款式的服装合计30件,并且每售出一件A款式和B款式服装,甲店铺获毛利润分别为30元和40元,乙店铺获毛利分别为27元和36元,某日王老板进货A款式服装35件,B款式服装25件,怎样分配给每个店铺各30件服装,使得在保证乙店铺获毛利润不小于950元的前提下,王老板获取的毛利润最大?最大利润是多少
3、?解析:首先要建立销售件数与销售利润的函数关系式,再由乙店铺毛利润不小于950件的前提下求销售件数范围,从而求最大值.设分配给甲店铺A款式服装x件（x取整数,且5≤x≤30）则分配给甲店铺B款式服装（30-x）件,分配给乙店铺A款式服装（35-x）件,分配给乙店铺B款式服装[25-（30-x）]=（x-5）件.总毛利润（设为y总）为:y总=30x+40（30-x）+27（35-x）+36（x-5）=-x+1965乙店铺利润设为y乙满足y乙=27（35-x）+36（x-5）≥950,x≥对于y总=－x+1965,其值随着x的增大而减小,要使y总最大,x必须取最小值.故取x=21,即
4、分配给甲店铺A、B两种款式服装分别为14件和16件,此时既保证了乙店铺获利润不少于950元,又保证了在此前提条件下,王老板获取总毛利润最大.y最大=－21+1965=1944元.二、利用二次函数求最值（2005河南省）例5.如图:正方形ABCD的边长为4㎝,点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点,连结AP,过P作PQ⊥AP交DC于Q,设BP的长为x㎝,CQ的长为y㎝⑴求点P在BC上运动的过程中y的最大值;⑵当y=1/4㎝时,求x的值.解析:此题先利用三角形相似得出对应线段成比例,然后建立二次函数关系式,再求二次函数极值.⑴∵PQ⊥AP且四边形ABCD为正方形∴∠CPQ+∠APB
5、=90°又∵∠BAP+∠APB=90°∴∠CPQ=∠BAP又∵∠B=∠C=90°∴⊿ABP∽⊿PCQ∵AB=BC=4,BP=x,CQ=y⑵六、利用“两点间线段最短”确定最值例6.如图.在直角坐标系中,有四个点A（－8,3）、B（－4,5）、C（0,n）、D（m,0）问当m,n为何值时,四边形ABCD的周长最短.解析:解此题关键将三条边转化在一条线上,再用“两点间线段最短”来确定最值.作点A关于x轴对称点A’,作点B关于y轴对称点B’,连接A’B’交x轴与y轴于D、C.所以AD=A’D,BC=B’C.因此,四边形ABCD的三条边长之和AD+DC+CD=A’B’.由两点间线段最短,可
6、得此时四边形ABCD的周长最短.七、利用绝对值非负性求最值例7.若不等式对一切实数x成立,则a的最大可能值.解:关于绝对值的问题,要利用绝对值非负性,分情况去掉绝对值,再分段求值,最后确定最值.八、根据实际情况求最值例8.某文具店销售的水笔只有A、B、C三种型号,下面表格和统计图分别给出了上月三种型号水笔每支的利润和销售量.A、B、C三种水笔每支利润统计表水笔型号ABC每支利润0.60.51.2A、B、C三种水笔销售量统计图销售量（支）型号⑴分别计算该店上月这三种型号水笔的利润,并将利润分布情况用扇形统计图表示.⑵该店计划下月共进这三种型号水笔600支综合上月销售情况,你认为A、
7、B、C三种型号水笔各进多少支总利润最高?此时所获的利润是多少?解析:⑴A型水笔的利润为:0.6×300=180元B型水笔的利润为:0.5×600=300元C型水笔的利润为:1.2×100=120元扇形统计图略.⑵因为三种型号水笔利润从高到低次是:C、A、B,所以当三种型号的水笔所进数量依次是C型水笔100支,A型水笔300支,B型水笔200支总利润最高,此时所获得的总利润为300×0.6+200×0.5+100×1.2=400元.
