初中数学最值问题的解法探究.pdf

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1、初中数学最值问题的解法探究江西省九江市同文中学罗序堂一提到最值问题，自然会联想到求二次函数的最大值或最小值，其实这只是求最值问题的一个方面，实际上求最值要综合运用不等式、函数、三角形等有关知识，同时还要运用转化思想、分类思想、数形结合思想。所以解决最值问题，有利于培养学生的数学思想，培养他们解决数学问题的能力，本文从几个方面探究最值问题的解法，以达到抛砖引玉之效。一、运用配方法求最值22例1．求多项式2x4xy5y12y13的最小值解析：这是一个多项式的最值问题，我们可以借助于配方法及非负数性质来求解。22二、运用根的判即2x4xy5y12y13

2、别式求最值例2．设、为222实数，那么2(x2xyy)3(y4y4)1222(xy)3(y2)1故当x=y=2时,原式有最小值为1.22aabba2b的最小值是.解析:此题应构造成关于或的一元二次方程形式,再利用判别式得出相应不等式,从而问题得解.22三、运用不等式设aabba2bk求最值整理成关于a的一元二次方程形式例.已知22即a(b1)a(b2bk)0a为实数,所以关于a的方程有实根222即=(b-1)4(b2bk)3b6b14k024k3b6b124k3(b1)44k1此时b1,a022aabba2b的最小值为-1.222abc6,求ab

3、bcca的最小值.22222解析:由abc及abbcca就联想到(abc),再由(abc)的非负性可得不等到式:2(abc)0四、运用一次函数增减性求最值222abc2ab2bc2ca0例.做服装生意的王老板经营甲、乙两个222店铺,每个店铺在同一段2(abbcca)(abc)时间内能售出、两种款式的服装合计件,并且每222售出一件款式和款式服又abc6装,甲店铺获毛利润分别为元和元,乙店铺获毛(abbcca)3利分别为元和元,某日王老板进货款式服装件款即abbcca的最小值是-3.式服装件,怎样分配给每个店铺各件服装,使得1/4在保证乙店铺获毛

4、利润不小于元的前提下,王老板获取的毛利润最大?最大利润是多少?解析:首先要建立销售件数与销售利润的函数关系式,再由乙店铺毛利润不小于件的前提下求销售件数范围,从而求最大值.设分配给甲店铺款式服装件（取整数,且≤≤）则分配给甲店铺款式服装（）件,分配给乙店铺款式服装（）件,分配给乙店铺款式服装[（）]（）件.总毛利润（设为总）为:总（）（）（）5乙店铺利润设为乙满足乙（）（）≥,≥209对于总－,其值随着的增大而减小,要使总最大必须取最小值.故取,即分配给甲店铺、两种款式服装分别为件和件,此时既保证了乙店铺获利润不少于元,又保证了在此前提条件下,王

5、老板获取总毛利润最大最大－元.五、利用二次函数求最值（河南省）例.如图:正方形的边长为㎝,点是边上不与点、重合的任意一点,连结,过作⊥交于,设的长为㎝的长为㎝⑴求点在上运动的过程中的最大值;⑵当㎝时,求的值.解析:此题先利用三角形相似得出对应线段成比例,然后建立二次函数关系式,再求二次函数极值.⑴∵⊥且四边形为正方形AD∴∠∠°又∵∠∠°∴∠∠又∵∠∠°∴⊿∽⊿Q∵BCPxy⑵44x121212y(x4x)(x4x4)1(x2)1六、利444用“两点间线段最短”确定1最值a0y有最大值(即当x=2时)y最大值为1.4例.如图.在直角坐1121标系

6、当y时,有-(x2)1中,有四个点（－）、444（－）、（）、（）x23即x=2+3cm或x23cm.问当为何值时,四边形的周长最短.解析:解此题关键将三条边转化在一条线上,再用“两点间线段最短”来确定最值.作点关于轴对称点’,作点关于轴对称点’,连接’’交轴与轴于、.所以’’.因此,四边形的三条边长之和’’.由两点间线段最短,可得此时四边形的周长最短.2/4设直线A'B'的解析式为ykxb,则8kb3,4kb5七、利2用绝对值k3y非负性求7最值bBB'3例.若不27直线A'B'的解析式y=xAC等式337xx4当xx20时,yx1xa3D对一

7、切实7A'当y0时,x数成立,2则的最77c(0,),,032大可能77值.即当m,n时,四边形ABCD的周长最短.23解:关于绝对值的问题,要利用绝对值非负性,分情况去掉绝对值,再分段求Ax4x2x1x值,最后确定最值.4x7x42x12x4八、根据实际情况求最值例.某文51x2具店销售的水笔只有、、三种型号,下面表格和统72x0x1计图分别给出了上月三种型号水笔每支的利润和74xx0销售量.、、三种水笔每支利润统计表当x4时,A=4x-79当2x4时,5A<9当1x<2时,A=5当0x<1时,57所以A5.因此a的最大可

8、能值是5.水笔型号每支利润、、三种水笔销售量统计图销售量（支）7006005004003002001000ABC型号⑴分别计算该店上月这