（新课标）2020版高考数学总复习第二节参数方程练习文新人教A版选修4_4.docx

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1、第二节　参数方程A组　基础题组1.(2018课标全国Ⅲ,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为x=cosθ,y=sinθ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解析　本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系.(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=π2时,l与☉O交于两点.当α≠π2时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-2.l与☉O交于两点当且仅当21+k2<1,解得k<-1或k>1,即α∈π4,π2或α∈π2,

2、3π4.综上,α的取值范围是π4,3π4.(2)l的参数方程为x=tcosα,y=-2+tsinαt为参数,π4<α<3π4.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsinα+1=0.于是tA+tB=22sinα,tP=2sinα.又点P的坐标(x,y)满足x=tPcosα,y=-2+tPsinα.所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2α,y=-22-22cos2αα为参数,π4<α<3π4.2.(2018四川成都调研)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的

3、原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且

4、AB

5、=14,求直线l的倾斜角α的值.解析　(1)由ρ=4cosθ,得(x-2)2+y2=4.(2)将x=1+tcosα,y=tsinα代入圆的方程得(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,化简得t2-2tcosα-3=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=2cosα,t1t2=-3,∴

6、AB

7、=

8、t1-t2

9、=(t1+t

10、2)2-4t1t2=4cos2α+12=14,∴4cos2α=2,cosα=±22,α=π4或3π4.3.(2019吉林长春质量检测(三))已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ2(3+sin2θ)=12,曲线C2的参数方程为x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数),α∈0,π2.(1)求曲线C1的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线;(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A、B,P(1,0),当

11、PA

12、+

13、PB

14、=72时,求cosα的值.解析　(1)由ρ2(3+sin2θ)=12

15、及x=ρcosθ,y=ρsinθ可得x24+y23=1,该曲线为椭圆.(2)将x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数)代入x24+y23=1得t2(4-cos2α)+6tcosα-9=0,设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=-6cosα4-cos2α,t1t2=-94-cos2α,所以

16、PA

17、+

18、PB

19、=

20、t1-t2

21、=(t1+t2)2-4t1t2=124-cos2α=72,从而cos2α=47,由于α∈0,π2,所以cosα=277.4.(2017湖南湘中名校联考)已知直线l:x=1+12t,y=32t(t为参数),曲线

22、C1:x=cosθ,y=sinθ(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求

23、AB

24、;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12,纵坐标压缩为原来的32,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.解析　(1)l的普通方程为y=3(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.联立得方程组y=3(x-1),x2+y2=1,解得l与C1的交点为A(1,0),B12,-32,则

25、AB

26、=1.(2)C2的参数方程为x=12cosθ,y=32sinθ(θ为参数),故点P的坐标是12cosθ,32sinθ,从而点P到

27、直线l的距离d=32cosθ-32sinθ-32=342sinθ-π4+2,当sinθ-π4=-1时,d取得最小值,且最小值为64(2-1).B组　提升题组1.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=1+t,y=t-3(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθsin2θ.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.解析　(1)由曲线C的极坐标方程ρ=2cosθsin2θ,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,所以曲线C

28、的直角坐标方程是y2=2x.由直线l的参数方程x=1+t,y=t-3得其普通方程为x-y-4=0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2x,得t2