（新课标）2020版高考数学总复习第二节不等式的证明练习文新人教A版选修4_5.docx

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1、第二节　不等式的证明A组　基础题组1.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤13;(2)a2b+b2c+c2a≥1.证明　(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥

2、2(a+b+c),即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.所以a2b+b2c+c2a≥1.2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d.求证:1a-b+1b-c+1c-d≥9a-d.证明　证法一:因为1a-b+1b-c+1c-d(a-d)=1a-b+1b-c+1c-d[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥331a-b·1b-c·1c-d·33(a-b)(b-c)(c-d)=9,当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,所以1a-b+1b-c+1c-d≥9a-d.证法二:因为1a-b+1b-c+1c

3、-d(a-d)=1a-b+1b-c+1c-d[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥1a-b·a-b+1b-c·b-c+1c-d·c-d2=9,当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,所以1a-b+1b-c+1c-d≥9a-d.3.设不等式-2<

4、x-1

5、-

6、x+2

7、<0的解集为M,a,b∈M.(1)证明:13a+16b<14;(2)比较

8、1-4ab

9、与2

10、a-b

11、的大小.解析　(1)证明:记f(x)=

12、x-1

13、-

14、x+2

15、,则f(x)=3,x≤-2,-2x-1,-2

16、意,令-2<-2x-1<0,得-12

17、a

18、+16

19、b

20、<13×12+16×12=14.(2)由(1)得a2<14,b2<14.因为

21、1-4ab

22、2-4

23、a-b

24、2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=(4a2-1)(4b2-1)>0,所以

25、1-4ab

26、2>4

27、a-b

28、2,故

29、1-4ab

30、>2

31、a-b

32、.4.(2019湖南湘中名校联考)已知关于x的不等式

33、x+a

34、

35、2

36、)求at+12+3bt的最大值.解析　(1)由

37、x+a

38、

39、2×3+13×4+…+1(n-1)×n=1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n<2.2.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若ab>cd,则a+b>c+d;(2)a+b>c+d是

40、a-b

41、<

42、c-d

43、的充要条件.证明　(1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd,由题设a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.因此a+b>c+d.(2)(i)若

44、a-b

45、<

46、c-d

47、,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(

48、c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a+b>c+d.(ii)若a+b>c+d,则(a+b)2>(c+d)2,即a+b+2ab>c+d+2cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此

49、a-b

50、<

51、c-d

52、.综上,a+b>c+d是

53、a-b

54、<

55、c-d

56、的充要条件.3.(2019四川成都第二次诊断性检测)已知函数f(x)=4-

57、x

58、-

59、x-3

60、.(1)求不等式fx+32≥0的解集;(2)若p,q

61、,r为正实数,且13p+12q+1r=4,求3p+2q+r的最小值.解析　(1)fx+32=4-x+32-x-32≥0.根据绝对值的几何意义,得x+32+x-32表示点(x,0)到A-32,0,B32,0两点的距离之和.接下来找出到A,B的距离之和为4的点.将点A向左移动12个单位到点A1(-2,0),这时有

62、A1A

63、+

64、A1B

65、=4;同理,将点B向右移动12个单位到点B1(2,0),这时有

66、B1A

67、+

68、B1B

69、=4.∴x+32+x-32≤4,即fx+32≥0的解集为[-2,2].(2)令a1=