2、求使它成立的④充分条件,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、定理等).这是一种⑤执果索因的思考和证明方法.3.反证法先假设要证明的命题⑥不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的⑦推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)⑧矛盾的结论,以说明假设⑨不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.4.放缩法证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地⑩放大或缩小,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.5.平均值不等式如果a1、a
3、2、…、an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.附:不等式证明的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法;(5)放缩法;(6)换元法;(7)构造法.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.(✕)(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证的结论.(√)(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.(✕)(4)使用反证法时,“反设”不能
4、作为推理的条件应用.(√)答案(1)✕(2)√ (3)✕(4)✕2.已知a,b∈R+,a+b=2,则+的最小值为( )A.1 B.2 C.4 D.8答案B ∵a,b∈R+,且a+b=2,∴(a+b)=2++≥2+2=4,∴+≥=2,即+的最小值为2(当且仅当a=b=1时,“=”成立).故选B.B3.若a>b>1,x=a+,y=b+,则x与y的大小关系是( )A.x>yB.xb>1得ab>1,a-b>0,所以>0,即x-y>0,所以x>y.A4.若a,b,m∈R+,且
5、a>b,则下列不等式一定成立的是( )A.≥B.>C.≤D.<答案B ∵a,b,m∈R+,且a>b,∴-=>0,即>,故选B.B5.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.答案解析根据柯西不等式得=·≥
6、ma+nb
7、=,当且仅当=(a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b=时取等号,故的最小值为.6.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则++的最小值为.答案9解析把a+b+c=1代入++中得++=3+++≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时,等号成立.故++的最小值为9.比较法证明不等式考点突破典例1
8、设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥(a2+b2).证明∵a,b是非负实数,∴a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-)=(-)[()5-()5].当a≥b时,≥,从而()5≥()5,得(-)[()5-()5]≥0;当a≥b时,≥,从而()5≥()5,得(-)[()5-()5]≥0;当a0.所以a3+b3≥(a2+b2).规律总结作差比较法证明不等式的步骤(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式
9、的性质判断出差的正负.注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且第(3)步要判断商与1的大小.1-1已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.证明(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2.因为a,b都是正数,所以a+b>0.又因为a≠b,所以(a-b)2>0.于是(a+b)(a-b)2>0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以a3+b3>a2b+ab2.1-2已知a,b∈(0,+∞),证明:aabb≥(ab.证明a,b∈(0,+∞),==,当a=b时,=1.当a>b时,>1,>0,则>
10、1.当b>a时,0<<1,<0,则>1.综上可知,aabb≥(ab
